Вариант №1 1. Вычислите: а) log₁/₂₇; б) Ig0,0001; в) log₆4 + log₀,₂125; г) log₃54 - 1/3log₃8 + log₃81; Д) 7^(2+log₇15) 2. Изобразите схематически график функции у=log₃,₆x. 3. Сравните числа: a) log₀,₃ 0,15 и log₀,₃ 0,2; в) 1g √7 и 1g2,4. 4. Решите уравнение: a) logs(2x-1)=2; 6) log₃(x+5)=logx(2x+1)y, в) 1g(x²-9)-1g(x + 3) = 0. 5. Решите уравнение 6log²gx-5loggx+1=0.

1. Вычислите:

а) log₁/₂₇

Давай вычислим логарифм. Для начала, упростим основание логарифма: \[ \frac{1}{27} = 3^{-3} \]

Теперь вычислим сам логарифм: \[ log_3 \frac{1}{27} = log_3 3^{-3} = -3 \]

Ответ: -3

б) lg0,0001

Давай вычислим десятичный логарифм. \[ lg(0.0001) = lg(10^{-4}) = -4 \]

Ответ: -4

в) log₂64 + log₀,₂125

Давай вычислим. Сначала упростим выражение: \[log_2 64 + log_{0.2} 125 = log_2 2^6 + log_{\frac{1}{5}} 5^3 = 6 + log_{5^{-1}} 5^3 = 6 - 3log_5 5 = 6 - 3 = 3\]

Ответ: 3

г) log₃54 - 1/3log₃8 + log₃81

Давай вычислим. Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов: \[ log_3 54 - \frac{1}{3} log_3 8 + log_3 81 = log_3 54 - log_3 8^{\frac{1}{3}} + log_3 81 = log_3 54 - log_3 2 + log_3 81 \] \[ = log_3 \frac{54}{2} + log_3 81 = log_3 27 + log_3 81 = log_3 3^3 + log_3 3^4 = 3 + 4 = 7 \]

Ответ: 7

д) 7^(2+log₇15)

Сначала упростим выражение: \[ 7^{2 + log_7 15} = 7^2 \cdot 7^{log_7 15} = 49 \cdot 15 = 735 \]

Ответ: 735

2. Изобразите схематически график функции у=log₃,₆x.

График функции y = log₃.₆(x) представляет собой логарифмическую функцию с основанием 3.6. Она определена для x > 0. Функция возрастает, так как основание больше 1. График проходит через точку (1, 0), и асимптотически приближается к оси y при x -> 0.

3. Сравните числа:

а) log₀,₃ 0,15 и log₀,₃ 0,2

Основание логарифма 0.3 меньше 1, значит, функция убывает. Сравниваем аргументы: 0.15 < 0.2. Тогда log₀,₃ 0.15 > log₀,₃ 0.2

Ответ: log₀,₃ 0.15 > log₀,₃ 0.2

в) lg √7 и lg2,4.

Так как десятичный логарифм (lg) имеет основание 10, функция возрастает. Сравниваем аргументы: √7 ≈ 2.645, а 2.4 < 2.645. Тогда lg √7 > lg 2.4

Ответ: lg √7 > lg 2.4

4. Решите уравнение:

a) log₅(2x-1)=2

Решим логарифмическое уравнение. По определению логарифма, 2x - 1 = 5². Отсюда 2x - 1 = 25, следовательно 2x = 26 и x = 13

Ответ: x = 13

б) log₃(x+5)=log₃(2x+1)

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять аргументы: x + 5 = 2x + 1. Отсюда x = 4. Нужно проверить, что x+5 > 0 и 2x+1 > 0, в данном случае это выполняется.

Ответ: x = 4

в) lg(x²-9)-lg(x + 3) = 0.

Преобразуем уравнение, используя свойство логарифмов: \[ lg(x^2 - 9) - lg(x + 3) = 0 \] \[ lg(\frac{x^2 - 9}{x + 3}) = 0 \] \[ lg(\frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}) = 0 \] \[ lg(x - 3) = 0 \] \[ x - 3 = 10^0 \] \[ x - 3 = 1 \] \[ x = 4 \]

Проверим, что x > 3 и x > -3. x = 4 удовлетворяет условию x > 3.

Ответ: x = 4

5. Решите уравнение

6log²ₓx-5logₓx+1=0.

Пусть y = logₓx, тогда уравнение примет вид: \[ 6y^2 - 5y + 1 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \] \[ y_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Теперь решим уравнения logₓx = 1/2 и logₓx = 1/3: \[ log_x x = \frac{1}{2} \] и \[ log_x x = \frac{1}{3} \] \[ x^{\frac{1}{2}} = x \] и \[ x^{\frac{1}{3}} = x \] \[ x = x^2 \] и \[ x = x^3 \] \[ x = 2 \] и \[ x = 3 \] Не подходит по ОДЗ x = 1, следовательно: \[x = 2^{\frac{1}{2}} \] и \[x = 3^{\frac{1}{3}} \]

Ответ: x = 2 и x = 3