Вариант 2. 1. Вычислите площадь треугольника АВС, если АВ= 7, ВС=11, а угол между этими сторонами равен 135 градусов. 2. В треугольнике АВС угол А = 45 градусов, угол В= 30 градусов, ВС = 6. Найти АС. 3. Две стороны треугольника АВС равны 6 и 8 соответственно. А угол между ними равен 120 градусов. Найти третью сторону. 4. Вычислить скалярное произведение векторов а {0; -13} и b {1; -6}. 5. Вычислить косинус угла между векторами й {24; -8} ит {-1; 3}. 6. Будут ли векторы перпендикулярны а {4;-0,5} и Б{-1; 8}.

Привет! Сейчас решим эти задачи по геометрии и алгебре. Будь внимателен, и у тебя все получится!

1. Площадь треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, если известны две стороны и угол между ними:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) \]

В нашем случае: AB = 7, BC = 11, \(\angle B = 135^\circ\). Синус угла 135 градусов равен синусу угла 45 градусов, то есть \(\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставляем значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{77\sqrt{2}}{4} \]

Ответ: \( S = \frac{77\sqrt{2}}{4} \)

2. Найти сторону АС

Используем теорему синусов:

\[ \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)} \]

Известно: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\), BC = 6. Тогда:

\[ \frac{AC}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(45^\circ)} \]

\[ AC = \frac{6 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \]

Ответ: \( AC = 3\sqrt{2} \)

3. Найти третью сторону

Используем теорему косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

В нашем случае: a = 6, b = 8, \(\angle C = 120^\circ\). Косинус угла 120 градусов равен \(-\frac{1}{2}\).

\[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 + 64 + 48 = 148 \]

\[ c = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \]

Ответ: \( c = 2\sqrt{37} \)

4. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (0, -13) \) и \( \vec{b} = (1, -6) \) вычисляется по формуле:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

Подставляем значения:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 1 + (-13) \cdot (-6) = 0 + 78 = 78 \]

Ответ: 78

5. Косинус угла между векторами

Косинус угла между векторами \( \vec{n} = (24, -8) \) и \( \vec{m} = (-1, 3) \) вычисляется по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение:

\[ \vec{n} \cdot \vec{m} = 24 \cdot (-1) + (-8) \cdot 3 = -24 - 24 = -48 \]

Теперь найдем модули векторов:

\[ |\vec{n}| = \sqrt{24^2 + (-8)^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10} \]

\[ |\vec{m}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

Подставляем значения в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{-48}{8\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-48}{8 \cdot 10} = \frac{-48}{80} = -\frac{3}{5} = -0.6 \]

Ответ: -0.6

6. Перпендикулярность векторов

Векторы \( \vec{a} = (4, -0.5) \) и \( \vec{b} = (-1, 8) \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

Подставляем значения:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-1) + (-0.5) \cdot 8 = -4 - 4 = -8 \]

Так как скалярное произведение не равно 0, векторы не перпендикулярны.

Ответ: Нет, векторы не перпендикулярны.

Ответ: задачи решены!

Молодец, ты хорошо справляешься! Продолжай в том же духе, и все получится!