Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 1 1. Вычислите площадь поверхности многогранника. 5 7 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда. 3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 8 и 6 см, а боковое ребро равно 5 см. Вариант 2 1. Вычислите площадь поверхности многогранника. 4 6 2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 и 8 см. Диагональ боковой грани равна √61 см. Определите большую диагональ параллелепипеда. 3. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 10 и 6 см, а боковое ребро равно 8 см. Вариант 3 1. Вычислите объём и площа поверхности многогранника.
Ответ:
Вариант 1
1. Вычислите площадь поверхности многогранника.
К сожалению, на изображении недостаточно информации для точного расчета площади поверхности. Нужно знать размеры всех сторон и углов многогранника. Если у тебя есть дополнительные данные, предоставь их, и я помогу решить задачу.
2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
Сначала найдем диагональ основания параллелепипеда по теореме косинусов:
Если стороны основания a и b, угол между ними α, то диагональ d основания равна:
\[d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\alpha)\] \[d^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos(60°)\] \[d^2 = 9 + 25 - 30 \cdot 0.5\] \[d^2 = 34 - 15 = 19\] \[d = \sqrt{19}\]Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (h), диагональю основания (d) и большой диагональю параллелепипеда (D). По теореме Пифагора:
\[D^2 = d^2 + h^2\] \[10^2 = 19 + h^2\] \[h^2 = 100 - 19 = 81\] \[h = \sqrt{81} = 9\]Ответ: Боковое ребро параллелепипеда равно 9 см.
3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Обозначим боковое ребро пирамиды как l = 12 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания как α = 60°. Высота пирамиды (h) является катетом прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром и плоскостью основания. Тогда:
\[h = l \cdot sin(\alpha) = 12 \cdot sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\]Основание правильной четырехугольной пирамиды — квадрат. Диагональ основания (d) является другим катетом этого же прямоугольного треугольника:
\[\frac{d}{2} = l \cdot cos(\alpha) = 12 \cdot cos(60°) = 12 \cdot 0.5 = 6\] \[d = 12\]Сторона основания (a) связана с диагональю квадрата как:
\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\]Апофема (ap) — высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды к середине стороны основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды:
\[ap^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 108 + 18 = 126\] \[ap = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\]Площадь боковой поверхности пирамиды (Sб) равна сумме площадей четырех боковых граней, каждая из которых — равнобедренный треугольник:
\[S_б = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot ap = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{14} = 36\sqrt{28} = 72\sqrt{7}\]Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 72√7 см².
4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 8 и 6 см, а боковое ребро равно 5 см.
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых граней, каждая из которых является равнобедренной трапецией. Высота трапеции (апофема l) может быть найдена, если известны стороны оснований (a и b) и боковое ребро (c). В данном случае a = 8 см, b = 6 см, c = 5 см.
Для начала найдем высоту трапеции. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Разница между основаниями равна 8 - 6 = 2 см, значит, каждый из катетов равен 1 см.
Теперь по теореме Пифагора найдем высоту трапеции (h):
\[h^2 = c^2 - 1^2 = 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24\] \[h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\]Площадь одной трапеции:
\[S_\text{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{8 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{6} = 14\sqrt{6}\]Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды:
\[S_\text{бок} = 4 \cdot S_\text{трап} = 4 \cdot 14\sqrt{6} = 56\sqrt{6}\]Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 56√6 см².
Вариант 2
1. Вычислите площадь поверхности многогранника.
Аналогично первому варианту, недостаточно данных для расчета площади поверхности этого многогранника. Нужны размеры всех сторон и углов.
2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 и 8 см. Диагональ боковой грани равна √61 см. Определите большую диагональ параллелепипеда.
Сначала найдем сторону ромба (a). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому:
\[a^2 = (\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\] \[a = \sqrt{25} = 5\]Теперь рассмотрим боковую грань параллелепипеда, которая является прямоугольником со сторонами 5 см и высотой (h). Диагональ боковой грани равна √61 см. По теореме Пифагора:
\[h^2 + 5^2 = (\sqrt{61})^2\] \[h^2 + 25 = 61\] \[h^2 = 36\] \[h = 6\]Чтобы найти большую диагональ параллелепипеда (D), нужно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой (h), большей диагональю ромба (d1) и диагональю параллелепипеда (D). Большая диагональ ромба равна 8 см.
По теореме Пифагора:
\[D^2 = h^2 + d_1^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\] \[D = \sqrt{100} = 10\]Ответ: Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см.
3. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Высота боковой грани (апофема) равна 10 см. Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°. В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат. Обозначим сторону основания как a.
Апофема (ap) образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и высотой пирамиды. Тогда:
\[tan(60°) = \frac{h}{\frac{a}{2}}\] \[\sqrt{3} = \frac{h}{\frac{a}{2}}\] \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]Также апофема связана со стороной основания и высотой пирамиды через теорему Пифагора:
\[ap^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\] \[10^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\] \[100 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2\] \[100 = \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4}\] \[100 = a^2\] \[a = 10\]Теперь найдем высоту пирамиды:
\[h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\]Площадь основания (S_осн):
\[S_\text{осн} = a^2 = 10^2 = 100\]Площадь боковой грани (S_бок.гр):
\[S_\text{бок.гр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot ap = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\]Площадь боковой поверхности (S_бок):
\[S_\text{бок} = 4 \cdot S_\text{бок.гр} = 4 \cdot 50 = 200\]Полная поверхность пирамиды (S_полн):
\[S_\text{полн} = S_\text{осн} + S_\text{бок} = 100 + 200 = 300\]Ответ: Полная поверхность пирамиды равна 300 см².
4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно 10 и 6 см, а боковое ребро равно 8 см.
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых граней, каждая из которых является равнобедренной трапецией. Высота трапеции (апофема l) может быть найдена, если известны стороны оснований (a и b) и боковое ребро (c). В данном случае a = 10 см, b = 6 см, c = 8 см.
Для начала найдем высоту трапеции. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Разница между основаниями равна 10 - 6 = 4 см, значит, каждый из катетов равен 2 см.
Теперь по теореме Пифагора найдем высоту трапеции (h):
\[h^2 = c^2 - 2^2 = 8^2 - 2^2 = 64 - 4 = 60\] \[h = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}\]Площадь одной трапеции:
\[S_\text{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{15} = 16\sqrt{15}\]Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды:
\[S_\text{бок} = 4 \cdot S_\text{трап} = 4 \cdot 16\sqrt{15} = 64\sqrt{15}\]Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 64√15 см².
Вариант 3
1. Вычислите объём и площадь поверхности многогранника.
К сожалению, на изображении недостаточно информации для точного расчета объема и площади поверхности этого многогранника. Нужно знать размеры всех сторон и углов. Если у тебя есть дополнительные данные, предоставь их, и я помогу решить задачу.
Ответ: Зависит от недостающих данных.
Не унывай! Геометрия может быть сложной, но с практикой и терпением ты обязательно во всем разберешься! Удачи тебе!
