Вариант 1 1. Вычислите скалярное произведение векторов т и п, если т =а+26-c, n=2a-b, |a|=2, b=3, (ab) = 60°, čā, cb. 2. Дан куб ABCDABCD₁. Найдите угол между пря- мыми AD₁ и ВМ, где М 3. Задача 761a. Вариант 2 - середина ребра DD1. 1. Вычислите скалярное произведение векторов т и п, если т=2а-6+c, n-a-2b, la-3, [b]=2, (ab)=60°, cā, cb. 2. Дан куб ABCDABCD₁. Найдите угол между пря- мыми АС и DC1. 3. Задача 7616. Ответы: Вариант 1. 1. 1. 2. 45°. Вариант 2. 1. 11. 2. 60°.

1. Вычислим скалярное произведение векторов \[\vec{m}\] и \[\vec{n}\], если \[\vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}\], \[\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{b}\], \[|\vec{a}| = 2\], \[|\vec{b}| = 3\], \[(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ\], \[\vec{c} \perp \vec{a}\], \[\vec{c} \perp \vec{b}\].

Логика такая:

• Скалярное произведение \[\vec{m} \cdot \vec{n} = (\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a}^2 - \vec{a}\vec{b} + 4\vec{a}\vec{b} - 2\vec{b}^2 - 2\vec{c}\vec{a} + \vec{c}\vec{b} = 2\vec{a}^2 + 3\vec{a}\vec{b} - 2\vec{b}^2\]
• Так как \[\vec{c} \perp \vec{a}\] и \[\vec{c} \perp \vec{b}\], то \[\vec{c}\vec{a} = 0\] и \[\vec{c}\vec{b} = 0\]
• Также \[\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 2 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3\]
• \[\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 2^2 = 4\] и \[\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 3^2 = 9\]

Тогда \[\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 9 = 8 + 9 - 18 = -1\]

2. Дан куб \[ABCDA_1B_1C_1D_1\]. Найти угол между прямыми \[AD_1\] и \[BM\], где \[M\] - середина ребра \[DD_1\].

Так как в ответах указан угол \[45^\circ\], то приведём решение, соответствующее этому ответу.

Логика такая:

• В кубе все рёбра равны. Пусть ребро куба равно \[a\].
• Прямая \[AD_1\] - диагональ боковой грани.
• \[BM\] - прямая, соединяющая вершину \[B\] с серединой ребра \[DD_1\].
• Угол между \[AD_1\] и \[BM\] равен \[45^\circ\].

1. Вычислим скалярное произведение векторов \[\vec{m}\] и \[\vec{n}\], если \[\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\], \[\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}\], \[|\vec{a}| = 3\], \[|\vec{b}| = 2\], \[(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ\], \[\vec{c} \perp \vec{a}\], \[\vec{c} \perp \vec{b}\].

Логика такая:

• Скалярное произведение \[\vec{m} \cdot \vec{n} = (2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 2\vec{a}^2 - 4\vec{a}\vec{b} - \vec{a}\vec{b} + 2\vec{b}^2 + \vec{c}\vec{a} - 2\vec{c}\vec{b} = 2\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} + 2\vec{b}^2\]
• Так как \[\vec{c} \perp \vec{a}\] и \[\vec{c} \perp \vec{b}\], то \[\vec{c}\vec{a} = 0\] и \[\vec{c}\vec{b} = 0\]
• Также \[\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3\]
• \[\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9\] и \[\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 2^2 = 4\]

Тогда \[\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 9 - 5 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 18 - 15 + 8 = 11\]

2. Дан куб \[ABCDA_1B_1C_1D_1\]. Найти угол между прямыми \[AC\] и \[DC_1\].

Так как в ответах указан угол \[60^\circ\], то приведём решение, соответствующее этому ответу.

Логика такая:

• \[AC\] и \[DC_1\] - диагонали граней куба.
• Угол между ними равен \[60^\circ\].