Вариант 2 1. Вычислить\(\ni\)3 + 113 + 123 + 133 + ¡43+ ¡53 2. Даны комплексные числа: z₁ = 2 + i, z₂ = 3i + 1, Z3 = -2 -1. Вычислите: a) z₁ + zz; 6) Z1+Z3; B) Z1 - 22; Γ) 22 - 23; Д) Z1 Z2; e) Z3 Z2. 3. Вычислите: а) (3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7; 1 4. Найти частное комплексных чисел: a); 6) (3-5i)/(2-4i) 1-i' 6) x²-3x+8,5=0 5. Решите уравнения в комплексных числах: a) x² - 8x + 17 = 0; 6. Комплексное число изобразить вектором, определить его модуль: Z=2+2i

1. Вычислить

Для вычисления суммы степеней мнимой единицы, нужно знать, что (i^1 = i), (i^2 = -1), (i^3 = -i), (i^4 = 1). Затем цикл повторяется.

Сначала упростим каждое слагаемое, используя периодичность степени мнимой единицы:

• (i^3 = -i)


• \(i^{13} = i^{4 \cdot 3 + 1} = i^1 = i\)


• \(i^{23} = i^{4 \cdot 5 + 3} = i^3 = -i\)


• \(i^{33} = i^{4 \cdot 8 + 1} = i^1 = i\)


• \(i^{43} = i^{4 \cdot 10 + 3} = i^3 = -i\)


• \(i^{53} = i^{4 \cdot 13 + 1} = i^1 = i\)

Теперь сложим все эти значения:

(-i + i - i + i - i + i = 0)

Ответ: 0

2. Вычислите

Даны комплексные числа: (z_1 = 2 + i), (z_2 = 3i + 1), (z_3 = -2 - i).

Вычислим выражения:

a) (z_1 + z_2 = (2 + i) + (1 + 3i) = (2 + 1) + (i + 3i) = 3 + 4i)

б) (z_1 + z_3 = (2 + i) + (-2 - i) = (2 - 2) + (i - i) = 0)

в) (z_1 - z_2 = (2 + i) - (1 + 3i) = (2 - 1) + (i - 3i) = 1 - 2i)

г) (z_2 - z_3 = (1 + 3i) - (-2 - i) = (1 + 2) + (3i + i) = 3 + 4i)

д) (z_1 \(\cdot\) z_2 = (2 + i)(1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i^2 = 2 + 7i - 3 = -1 + 7i)

e) (z_3 \(\cdot\) z_2 = (-2 - i)(1 + 3i) = -2 - 6i - i - 3i^2 = -2 - 7i + 3 = 1 - 7i)

3. Вычислите

a) ((3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7 = (9 - 3i + 3i - i^2) - 6 - 2i + 7 = (9 + 1) - 6 - 2i + 7 = 10 - 6 - 2i + 7 = 11 - 2i)

Ответ: (11 - 2i)

4. Найти частное комплексных чисел

a) \(\frac{1}{1 - i} = \frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{1 + i}{1 - i^2} = \frac{1 + i}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)

б) (\(\frac{3 - 5i}{2 - 4i}\) = \(\frac{3 - 5i}{2 - 4i}\) \(\cdot\) \(\frac{2 + 4i}{2 + 4i}\) = \(\frac{(3 - 5i)(2 + 4i)}{(2 - 4i)(2 + 4i)}\) = \(\frac{6 + 12i - 10i - 20i^2}{4 - 16i^2}\) = \(\frac{6 + 2i + 20}{4 + 16}\) = \(\frac{26 + 2i}{20}\) = \(\frac{13}{10}\) + \(\frac{1}{10}\)i)

5. Решите уравнения в комплексных числах

a) (x^2 - 8x + 17 = 0)

Дискриминант: (D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 17 = 64 - 68 = -4)

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

\(x_{1,2} = \frac{-b pm sqrt{D}}{2a} = \frac{8 pm sqrt{-4}}{2} = \frac{8 pm 2i}{2} = 4 pm i\)

Ответ: (x_1 = 4 + i), (x_2 = 4 - i)

б) (x^2 - 3x + 8.5 = 0)

Дискриминант: (D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 8.5 = 9 - 34 = -25)

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

\(x_{1,2} = \frac{-b pm sqrt{D}}{2a} = \frac{3 pm sqrt{-25}}{2} = \frac{3 pm 5i}{2} = 1.5 pm 2.5i\)

Ответ: (x_1 = 1.5 + 2.5i), (x_2 = 1.5 - 2.5i)

6. Комплексное число изобразить вектором, определить его модуль

Комплексное число (Z = 2 + 2i) можно представить как вектор на комплексной плоскости, где действительная часть (2) - это координата по оси x, а мнимая часть (2) - координата по оси y.

Модуль комплексного числа (Z = a + bi) вычисляется по формуле: (|Z| = sqrt{a^2 + b^2})

В данном случае, (a = 2) и (b = 2), поэтому:

(|Z| = sqrt{2^2 + 2^2} = sqrt{4 + 4} = sqrt{8} = 2sqrt{2})

Модуль комплексного числа равен (2sqrt{2}).