Вариант 2 1. Высота правильной призмы КМРК₁М₁Р₁ равна 15 см. Сторона ее основания - 8√3 см. Вычислите периметр се- чения призмы плоскостью, содержащей прямую РР₁ и се- редину ребра КМ. 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна -- 8 см, сторона ее основания - 12 см. Вычислите: а) длину бокового ребра пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Ребро МА пирамиды МАВС перпендикулярно плоскости ее основания. АВ = AC = 18 см, ∠BAC = 90°. Угол между плоскостями основания и грани МВС равен 45°. Вычислите: а) расстояние от вершины пирамиды до прямой ВС; • б) площадь полной поверхности пирамиды.

Задание 1

Сечение правильной призмы плоскостью, содержащей прямую PP₁ и середину ребра KM, представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы (15 см), а другая – стороне основания (8√3 см).

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его сторон: P = 2(a + b).

P = 2(15 + 8√3) = 30 + 16√3 см.

Ответ: 30 + 16√3 см

Задание 2

Дано: Правильная четырехугольная пирамида, высота = 8 см, сторона основания = 12 см.

Найти: а) длину бокового ребра пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пошаговое решение:

1. а) Найдем половину диагонали основания (половину диагонали квадрата):

   Диагональ квадрата равна a√2, где a – сторона квадрата.

   d = 12√2 см

   Половина диагонали: r = d/2 = 6√2 см

2. Теперь найдем боковое ребро пирамиды по теореме Пифагора:

   l = √(h² + r²) = √(8² + (6√2)²) = √(64 + 72) = √136 ≈ 11,66 см

3. б) Найдем апофему (высоту боковой грани):

   Половина стороны основания: a/2 = 12/2 = 6 см

   Апофема: a_p = √(h² + (a/2)²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 см

4. Площадь боковой поверхности пирамиды:

   S_бок = 0.5 * P_осн * a_p = 0.5 * (4 * 12) * 10 = 240 см²

Ответ: а) ≈ 11,66 см; б) 240 см²

Задание 3

Дано: Пирамида MABC, MA перпендикулярно плоскости основания, AB = AC = 18 см, ∠BAC = 90°, угол между плоскостями основания и грани MBC равен 45°.

Найти: а) расстояние от вершины пирамиды до прямой BC; б) площадь полной поверхности пирамиды.

Пошаговое решение:

1. а) Найдем BC (гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника):

   BC = AB√2 = 18√2 см

2. Расстояние от вершины пирамиды до прямой BC - это высота, проведенная из вершины A к BC.

   Высота, проведенная из вершины A к BC в прямоугольном равнобедренном треугольнике, равна половине гипотенузы:

   h = BC/2 = 9√2 см

3. б) Найдем площадь основания (треугольника ABC):

   S_осн = 0.5 * AB * AC = 0.5 * 18 * 18 = 162 см²

4. Т.к. угол между плоскостями основания и гранью MBC равен 45°, то высота MA равна высоте, опущенной из точки A на BC:

   MA = 9√2 см

5. Найдем площадь боковой грани MAB и MAC:

   S_MAB = S_MAC = 0.5 * MA * AB = 0.5 * 9√2 * 18 = 81√2 см²

6. Найдем высоту MH боковой грани MBC:

   MH = √(MA² + AH²) = √((9√2)² + (9√2)²) = √(162 + 162) = √324 = 18 см

7. Найдем площадь боковой грани MBC:

   S_MBC = 0.5 * BC * MH = 0.5 * 18√2 * 18 = 162√2 см²

8. Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

   S_полн = S_осн + S_MAB + S_MAC + S_MBC = 162 + 81√2 + 81√2 + 162√2 = 162 + 324√2 ≈ 619,14 см²

Ответ: а) 9√2 см; б) ≈ 619,14 см²