Вариант 1 1. Высота цилиндра равна 5/3 см, а диагональ осевого сечения образу- ет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём цилиндра. 2. Образующая конуса равна 26 см, а его высота - 24 см. Найдите объ- ём конуса. 3. Объёмы двух шаров относятся как 8 : 125. Найдите отношение пло- щадей их поверхностей. 4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии а от центра верхнего основания и которая видна из этого центра под углом ф. Отрезок, соединяющий центр верхнего ос- нования с точкой окружности нижнего основания, образует с плоско- стью основания угол В. Найдите объём цилиндра. 5. Основанием пирамиды является ромб со стороной 16 см и углом 60°. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Най- дите объём конуса, вписанного в данную пирамиду. 6. Две параллельные плоскости пересекают шар радиуса 10 см. Радиу- сы кругов, образовавшихся в сечении, равны 6 см и 8 см. Найдите объём шарового слоя, ограниченного этими кругами.

Вариант 1

1. Высота цилиндра равна 5\(\sqrt{3}\) см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём цилиндра.

1. Найдем радиус основания цилиндра. Тангенс угла 30° равен отношению высоты цилиндра к радиусу основания:

\[\tan 30^\circ = \frac{H}{R} \rightarrow R = \frac{H}{\tan 30^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 15 \text{ см}\]

2. Объем цилиндра равен:

\[V = \pi R^2 H = \pi \cdot 15^2 \cdot 5\sqrt{3} = 225 \cdot 5\sqrt{3} \pi = 1125\sqrt{3}\pi \text{ см}^3\]

Ответ: Объем цилиндра равен \(1125\sqrt{3}\pi \) см³.

2. Образующая конуса равна 26 см, а его высота - 24 см. Найдите объём конуса.

1. Найдем радиус основания конуса:

\[R = \sqrt{l^2 - H^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]

2. Объем конуса равен:

\[V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 24 = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot 24 = 800\pi \text{ см}^3\]

Ответ: Объем конуса равен \( 800\pi \) см³.

3. Объёмы двух шаров относятся как 8 : 125. Найдите отношение площадей их поверхностей.

1. Пусть \(V_1\) и \(V_2\) - объемы первого и второго шаров соответственно, а \(R_1\) и \(R_2\) - их радиусы. Тогда:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{8}{125}\]

2. Отсюда следует, что:

\[\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}\]

3. Пусть \(S_1\) и \(S_2\) - площади поверхностей первого и второго шаров соответственно. Тогда:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi R_1^2}{4 \pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}\]

Ответ: Отношение площадей их поверхностей равно 4 : 25.

4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии d от центра верхнего основания и которая видна из этого центра под углом φ. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол β. Найдите объём цилиндра.

К сожалению, для решения этой задачи не хватает данных. Переменные d и φ не имеют численных значений.

5. Основанием пирамиды является ромб со стороной 16 см и углом 60°. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

1. Радиус вписанной окружности ромба равен половине высоты ромба. Высота ромба, в свою очередь, равна:

\[h = a \sin \alpha = 16 \sin 60^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\]

2. Следовательно, радиус вписанной окружности равен:

\[r = \frac{h}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}\]

3. Высота конуса равна:

\[H = r \cdot tg 30 = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}\]

4. Объем конуса равен:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 \cdot 4 = 64\pi \text{ см}^3\]

Ответ: Объем конуса равен \(64\pi \) см³.

6. Две параллельные плоскости пересекают шар радиуса 10 см. Радиусы кругов, образовавшихся в сечении, равны 6 см и 8 см. Найдите объём шарового слоя, ограниченного этими кругами.

1. Найдем высоты шаровых сегментов:

\[h_1 = R - \sqrt{R^2 - r_1^2} = 10 - \sqrt{10^2 - 6^2} = 10 - \sqrt{100 - 36} = 10 - \sqrt{64} = 10 - 8 = 2 \text{ см}\]

\[h_2 = R + \sqrt{R^2 - r_2^2} = 10 + \sqrt{10^2 - 8^2} = 10 + \sqrt{100 - 64} = 10 + \sqrt{36} = 10 + 6 = 16 \text{ см}\]

2. Объем шарового слоя:

\[V = \frac{\pi h_2^2}{3} (3R - h_2) - \frac{\pi h_1^2}{3} (3R - h_1) = \frac{\pi \cdot 16^2}{3} (3 \cdot 10 - 16) - \frac{\pi \cdot 2^2}{3} (3 \cdot 10 - 2) = \frac{\pi \cdot 256}{3} \cdot 14 - \frac{\pi \cdot 4}{3} \cdot 28\]

\[V = \frac{\pi}{3} (256 \cdot 14 - 4 \cdot 28) = \frac{\pi}{3} (3584 - 112) = \frac{\pi}{3} \cdot 3472 \text{ см}^3\]

Ответ: Объём шарового слоя равен \(\frac{3472}{3}\pi \) см³.