ВАРИАНТ 4 1) 12x² + 16x = 3 2) 21x2 = 5x-1 3) x² - 3x = 0 Разложить на множители: x² + 14 x + 24 = 0 Сократите дробь: x² - 4x + 4 4x²-7x-2

{ "answers": [ { "question": "1) 12x² + 16x = 3", "answer": "Решим квадратное уравнение $$12x^2 + 16x - 3 = 0$$: $$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-16 + 20}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-16 - 20}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$$ \textbf{Ответ:} $$x_1 = \frac{1}{6}, x_2 = -\frac{3}{2}$$" }, { "question": "2) 21x2 = 5x-1", "answer": "Преобразуем уравнение к виду $$21x^2 - 5x + 1 = 0$$. Вычислим дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 1 = 25 - 84 = -59$$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. \textbf{Ответ:} уравнение не имеет действительных корней." }, { "question": "3) x² - 3x = 0", "answer": "Вынесем x за скобки: $$x(x - 3) = 0$$. Тогда $$x = 0$$ или $$x - 3 = 0$$, откуда $$x = 3$$. \textbf{Ответ:} $$x_1 = 0, x_2 = 3$$" }, { "question": "Разложить на множители: x² + 14 x + 24 = 0", "answer": "Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 14x + 24 = 0$$: $$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$$ $$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ Тогда разложение на множители имеет вид $$(x + 2)(x + 12) = 0$$. \textbf{Ответ:} $$(x + 2)(x + 12) = 0$$" }, { "question": "Сократите дробь: (x² - 4x + 4) / (4x²-7x-2)", "answer": "Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$$. Знаменатель: $$4x^2 - 7x - 2 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$$ $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$ Тогда $$4x^2 - 7x - 2 = 4(x - 2)(x + \frac{1}{4}) = (x - 2)(4x + 1)$$. Исходная дробь: $$\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(4x + 1)} = \frac{x - 2}{4x + 1}$$. \textbf{Ответ:} $$\frac{x - 2}{4x + 1}$$" } ] }