ВАРИАНТ 4 1) 3x²-x>24 2) 4x² ≤ - 4x-1 3) -25 > 10x + 2x² 4) 7x < 12+x² 5) x² ≤ 4x 6) -3x² +7 <-4x 7) k²-25 ≥ 0

Решим каждое неравенство по порядку.

1. 3x²-x>24

Перенесем все в левую часть:

$$3x^2 - x - 24 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$3x^2 - x - 24 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 1 + 288 = 289$$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 17}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 17}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$$

Решением неравенства будет:

$$x < -\frac{8}{3} \quad \text{или} \quad x > 3$$

-----------------------------------
        +            -            +
------(-8/3)--------(3)---------
-----------------------------------

2. 4x² ≤ - 4x-1

Перенесем все в левую часть:

$$4x^2 + 4x + 1 ≤ 0$$

Заметим, что это полный квадрат:

$$(2x + 1)^2 ≤ 0$$

Квадрат числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется только при:

$$2x + 1 = 0$$ $$2x = -1$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

3. -25 > 10x + 2x²

Перенесем все в правую часть:

$$2x^2 + 10x + 25 < 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 100 - 200 = -100$$

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет корней, а значит и неравенство не имеет решений, так как коэффициент при x² положительный, то выражение всегда больше нуля.

4. 7x < 12+x²

Перенесем все в правую часть:

$$x^2 - 7x + 12 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 7x + 12 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$ $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Решением неравенства будет:

$$x < 3 \quad \text{или} \quad x > 4$$

-----------------------------------
        +            -            +
--------(3)--------(4)---------
-----------------------------------

5. x² ≤ 4x

Перенесем все в левую часть:

$$x^2 - 4x ≤ 0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(x - 4) ≤ 0$$

Решением неравенства будет:

$$0 ≤ x ≤ 4$$

-----------------------------------
        +            -            +
--------(0)--------(4)---------
-----------------------------------

6. -3x² +7 <-4x

Перенесем все в левую часть:

$$-3x^2 + 4x + 7 < 0$$

Умножим на -1:

$$3x^2 - 4x - 7 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$3x^2 - 4x - 7 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$$ $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

Решением неравенства будет:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x > \frac{7}{3}$$

-----------------------------------
        +            -            +
--------(-1)--------(7/3)---------
-----------------------------------

7. k²-25 ≥ 0

Разложим на множители:

$$(k - 5)(k + 5) ≥ 0$$

Решением неравенства будет:

$$k ≤ -5 \quad \text{или} \quad k ≥ 5$$

-----------------------------------
        +            -            +
--------(-5)--------(5)---------
-----------------------------------

Ответ: 1) $$x < -\frac{8}{3} \quad \text{или} \quad x > 3$$; 2) $$x = -\frac{1}{2}$$; 3) нет решений; 4) $$x < 3 \quad \text{или} \quad x > 4$$; 5) $$0 ≤ x ≤ 4$$; 6) $$x < -1 \quad \text{или} \quad x > \frac{7}{3}$$; 7) $$k ≤ -5 \quad \text{или} \quad k ≥ 5$$