ВАРИАНТ № 1 ЗАЧЕТ (ГА) КОНЕЦ ЧЕТВЕРТИ 2. От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли. Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода. 3. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 18 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна двум шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? 4. Найти sin A, tg A, cos A B C 5. Решить уравнение: х²+5x+4=0 6. Записать сумму и произведение корней данного уравнения: х²+x-12=0. 7. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются: х₁ = 4, x = 2

Решение задания 2

Давай представим столб и дом как две вертикальные линии. Провод натянут между ними. Получается прямоугольный треугольник, где провод - это гипотенуза. Один катет - это расстояние между домом и столбом (8 м), а второй катет - разница высот столба и точки крепления провода на доме (9 м - 3 м = 6 м).

Используем теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Подставим значения:

\[c^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\]

Значит, длина провода:

\[c = \sqrt{100} = 10 \text{ м}\]

Ответ: 10 м

---

Решение задания 3

Пусть h - высота фонаря, а x - расстояние от человека до столба. Рост человека 1,7 м, а длина его тени - 2 шага. Расстояние от человека до столба - 18 шагов.

Составим пропорцию, используя подобие треугольников:

\[\frac{h}{18 + 2} = \frac{1.7}{2}\]

\[\frac{h}{20} = \frac{1.7}{2}\]

\[h = \frac{1.7 \times 20}{2} = 1.7 \times 10 = 17 \text{ м}\]

Ответ: 17 м

---

Решение задания 4

По рисунку определим длины сторон треугольника. Пусть катет AC = 6, катет BC = 8. Тогда гипотенуза AB = \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Синус угла A: \[\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = 0.8\]

Тангенс угла A: \[\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33\]

Косинус угла A: \[\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0.6\]

Ответ: sin A = 0.8, tg A = 4/3, cos A = 0.6

---

Решение задания 5

Решим квадратное уравнение \(x^2 + 5x + 4 = 0\) через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Ответ: x₁ = -1, x₂ = -4

---

Решение задания 6

Для уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\) найдем сумму и произведение корней, используя теорему Виета:

Сумма корней: \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1\]

Произведение корней: \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1} = -12\]

Ответ: Сумма корней = -1, Произведение корней = -12

---

Решение задания 7

Составим квадратное уравнение с корнями \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 2\). Используем обратную теорему Виета:

Сумма корней: \[x_1 + x_2 = 4 + 2 = 6\]

Произведение корней: \[x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 2 = 8\]

Квадратное уравнение имеет вид: \[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0\]

Подставим значения:

\[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Ответ: x² - 6x + 8 = 0

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!