Вариант 3 1. Задание на построение Постройте график функции у = -- 1, 5. Найдите: • Площадь треугольника, образованного графиком и осями координат. • Значение х, при котором у ≥ 0. 2. Составление формулы по графику (обратная задача) На рисунке (опишем словами) изображены две прямые. Прямая 11 проходит через точки (0; 5) и (2; 1). Прямая 12 проходит через точку (-1; 2) и параллельна 11. Задайте обе функции формулами. 2a 3. Параметр и параллельность Найдите все значения а, при которых график функции у = (a² 3)x + 2 не пересекает ось Ох (т.е. параллелен ей или совпадает с ней). 4. Координаты точки пересечения (с параметром) Найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 2x - 3 и у = kx + 4 в зависимости от значения параметра к. 5. Кусочно-заданная функция Постройте график функции: y = {; -2x + 1, если х < 1 x-2, 2, если х≥ 1 Найдите все значения т, при которых прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: Решения ниже

1. Задание на построение графика функции

Для функции y = -\frac{3}{2}x - 1, определим ключевые моменты и построим график.

• Построение графика:

Функция является линейной. Для построения достаточно двух точек.

• Точка пересечения с осью Y:

x = 0, y = -1. Точка (0, -1)

• Точка пересечения с осью X:

y = 0, -\frac{3}{2}x - 1 = 0, x = -\frac{2}{3}. Точка (-\frac{2}{3}, 0)

• Площадь треугольника:

Треугольник образован осями координат и графиком функции. Вершины: (0, 0), (0, -1), (-\frac{2}{3}, 0). Катеты: 1 и \frac{2}{3}.

Площадь треугольника: S = \frac{1}{2} * 1 * \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

• Значение x, при котором y ≥ 0:

y ≥ 0 при x ≤ -\frac{2}{3}

Ответ: S = \frac{1}{3}, x ≤ -\frac{2}{3}

2. Составление формулы по графику

• Прямая l1:

Проходит через точки (0; 5) и (2; 1). Находим угловой коэффициент k и свободный член b для уравнения y = kx + b

b = 5 (пересечение с осью Y)

1 = 2k + 5 => k = -2

y = -2x + 5

• Прямая l2:

Параллельна l1 и проходит через точку (-1; 2). Угловой коэффициент k = -2

y = -2x + b

2 = -2(-1) + b => b = 0

y = -2x

Ответ: l1: y = -2x + 5, l2: y = -2x

3. Параметр и параллельность

График функции y = (a² - 2a - 3)x + 2 не пересекает ось Ox, если (a² - 2a - 3) = 0

a² - 2a - 3 = 0

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

a1 = \frac{2 + 4}{2} = 3

a2 = \frac{2 - 4}{2} = -1

Ответ: a = 3, a = -1

4. Координаты точки пересечения

Найдем точку пересечения графиков функций y = 2x - 3 и y = kx + 4

2x - 3 = kx + 4

2x - kx = 7

x(2 - k) = 7

x = \frac{7}{2 - k}

y = 2 * \frac{7}{2 - k} - 3 = \frac{14}{2 - k} - 3 = \frac{14 - 6 + 3k}{2 - k} = \frac{8 + 3k}{2 - k}

Ответ: x = \frac{7}{2 - k}, y = \frac{8 + 3k}{2 - k}

5. Кусочно-заданная функция

Построим график функции:

y = \begin{cases} -2x + 1, & \text{если } x < 1 \\ x - 2, & \text{если } x \geq 1 \end{cases}

Найдем все значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

• Случай 1:

y = m пересекает график y = -2x + 1 при x < 1. Это происходит при m > -1

• Случай 2:

y = m пересекает график y = x - 2 при x ≥ 1. Это происходит при m < -1

Ответ: m = -1

Ответ: См. решения выше