Вариант 3 1. Запишите в виде многочлена стандартного в a) 2a(3a² - 5b)²; б) (2a - 3b²)(4a² + 6ab² + b²). 2. Разложите на множители выражение: a) 9(a + 2)² - 4; б) (а - 1)3 + 8a6; в) (a - b)² + 2(a – b)(a + 3) + (a + 3)². 3. Решите уравнение (2x – 1)(4x² + 2x + 1) - 8 4. Найдите наименьшее значение выражени x² + y²-6x + 2y + 17. Постройте график функции у = x² + 4x + x+2 6. Докажите, что число 144 - 1652 + 1382 - 1

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида

1. а) 2a(3a² - 5b)²
   Решение:
   2a(9a⁴ - 30a²b + 25b²) = 18a⁵ - 60a³b + 50ab²

   Ответ: 18a⁵ - 60a³b + 50ab²

2. б) (2a - 3b²)(4a² + 6ab² + 9b⁴)
   Решение:
   (2a - 3b²)(4a² + 6ab² + 9b⁴) = 8a³ + 12a²b² + 18ab⁴ - 12a²b² - 18ab⁴ - 27b⁶ = 8a³ - 27b⁶

   Ответ: 8a³ - 27b⁶

2. Разложите на множители выражение:

1. а) 9(a + 2)² - 4
   Решение:
   [3(a + 2) - 2][3(a + 2) + 2] = (3a + 6 - 2)(3a + 6 + 2) = (3a + 4)(3a + 8)

   Ответ: (3a + 4)(3a + 8)

2. б) (a - 1)³ + 8a⁶
   Решение:
   (a - 1)³ + (2a²)³ = (a - 1 + 2a²)((a - 1)² - (a - 1)(2a²) + (2a²)²) = (2a² + a - 1)(a² - 2a + 1 - 2a³ + 2a² + 4a⁴) = (2a² + a - 1)(4a⁴ - 2a³ + 3a² - 2a + 1)

   Ответ: (2a² + a - 1)(4a⁴ - 2a³ + 3a² - 2a + 1)

3. в) (a - b)² + 2(a – b)(a + 3) + (a + 3)²
   Решение:
   Это квадрат суммы: ((a - b) + (a + 3))² = (2a - b + 3)²

   Ответ: (2a - b + 3)²

3. Решите уравнение (2x – 1)(4x² + 2x + 1) - 8

Решение:
(2x - 1)(4x² + 2x + 1) - 8 = 0
8x³ - 1 - 8 = 0
8x³ = 9
x³ = 9/8
x = ∛(9/8)

Ответ: x = ∛(9/8)

4. Найдите наименьшее значение выражения x² + y² - 6x + 2y + 17

Решение:
x² - 6x + y² + 2y + 17 = (x² - 6x + 9) + (y² + 2y + 1) + 17 - 9 - 1 = (x - 3)² + (y + 1)² + 7
Наименьшее значение достигается, когда (x - 3)² = 0 и (y + 1)² = 0, то есть x = 3 и y = -1.
В этом случае выражение равно 7.

Ответ: 7

5. Постройте график функции у = (x² + 4x + 4) / (x + 2)

Решение:
у = (x² + 4x + 4) / (x + 2) = ((x + 2)²) / (x + 2) = x + 2, при x ≠ -2
Это прямая y = x + 2 с выколотой точкой при x = -2.

Ответ: y = x + 2, x ≠ -2 (прямая с выколотой точкой)

6. Докажите, что число 14⁴ - 165² + 138² - 16

Решение:
14⁴ - 165² + 138² - 16 = (14²)² - 165² + 138² - 16 = 196² - 165² + 138² - 4² = (196 - 165)(196 + 165) + (138 - 4)(138 + 4) = 31 * 361 + 134 * 142 = 11191 + 19028 = 30219
Проверим делимость на 3: 3 + 0 + 2 + 1 + 9 = 15, что делится на 3, значит и число 30219 делится на 3.

Ответ: Число делится на 3