Вариант 1 1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение: a) (2a-3b)²; 6) (5x-3y)(5x + 3y); в) 2а³(a + 2b)². 2. Разложите на множители многочлен: a) 25a² - 16; 6) -3x² + 6x – 3; B) 8x³ + y³. 3. Решите уравнение (5x + 3)² - (5x - 1)(5x + 1) = 28x + 4. 4. Докажите, что выражение 2x² - 4xy + 4y² может принимать только неотрицательные значения. 5. Постройте график функции у = х²+2x+1 -3. x+1 6. Докажите, что число 144 - 145² кратно 3 и 17.

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

a) (2a-3b)²

• Краткое пояснение: Используем формулу квадрата разности: (a - b)² = a² - 2ab + b².
• Решение:

(2a - 3b)² = (2a)² - 2 * (2a) * (3b) + (3b)² = 4a² - 12ab + 9b²

Ответ: 4a² - 12ab + 9b²

б) (5x-3y)(5x + 3y)

• Краткое пояснение: Используем формулу разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b².
• Решение:

(5x - 3y)(5x + 3y) = (5x)² - (3y)² = 25x² - 9y²

Ответ: 25x² - 9y²

в) 2a³(a + 2b)²

• Краткое пояснение: Сначала раскроем квадрат суммы, затем умножим на 2a³.
• Решение:

2a³(a + 2b)² = 2a³(a² + 4ab + 4b²) = 2a⁵ + 8a⁴b + 8a³b²

Ответ: 2a⁵ + 8a⁴b + 8a³b²

2. Разложите на множители многочлен:

a) 25a² - 16

• Краткое пояснение: Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).
• Решение:

25a² - 16 = (5a)² - 4² = (5a - 4)(5a + 4)

Ответ: (5a - 4)(5a + 4)

б) -3x² + 6x – 3

• Краткое пояснение: Вынесем общий множитель -3 за скобки, затем упростим выражение.
• Решение:

-3x² + 6x - 3 = -3(x² - 2x + 1) = -3(x - 1)²

Ответ: -3(x - 1)²

в) 8x³ + y³

• Краткое пояснение: Используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
• Решение:

8x³ + y³ = (2x)³ + y³ = (2x + y)((2x)² - (2x)y + y²) = (2x + y)(4x² - 2xy + y²)

Ответ: (2x + y)(4x² - 2xy + y²)

3. Решите уравнение (5x + 3)² - (5x - 1)(5x + 1) = 28x + 4.

• Краткое пояснение: Раскроем скобки, упростим и решим линейное уравнение.
• Решение:

(5x + 3)² - (5x - 1)(5x + 1) = 28x + 4

(25x² + 30x + 9) - (25x² - 1) = 28x + 4

25x² + 30x + 9 - 25x² + 1 = 28x + 4

30x + 10 = 28x + 4

30x - 28x = 4 - 10

2x = -6

x = -3

Ответ: x = -3

4. Докажите, что выражение 2x² - 4xy + 4y² может принимать только неотрицательные значения.

• Краткое пояснение: Преобразуем выражение, выделив полный квадрат.
• Решение:

2x² - 4xy + 4y² = 2(x² - 2xy + 2y²) = 2(x² - 2xy + y² + y²) = 2((x - y)² + y²)

Так как (x - y)² ≥ 0 и y² ≥ 0, то 2((x - y)² + y²) ≥ 0.

Ответ: Выражение 2x² - 4xy + 4y² всегда неотрицательно.

5. Постройте график функции y = (x²+2x+1)/(x+1) -3.

• Краткое пояснение: Упростим функцию и построим график.
• Решение:

y = (x²+2x+1)/(x+1) - 3 = ((x+1)²)/(x+1) - 3 = (x+1) - 3 = x - 2, при x ≠ -1

Ответ: График - прямая линия y = x - 2 с выколотой точкой при x = -1.

6. Докажите, что число 144 - 145² кратно 3 и 17.

• Краткое пояснение: Разложим число на множители и проверим делимость.
• Решение:

144 - 145² = 12² - 145² = (12 - 145)(12 + 145) = (-133)(157) = (-7 * 19)(157)

133 = 7 * 19 => кратно 7 и 19

157 = простое => не кратно 3 или 17

144 - 145² = (12 - 145)(12 + 145) = -133 * 157

-133 = -7 * 19

157 = простое число, не делится ни на 3, ни на 17

144 - 145² = 144 - 21025 = -20881

-20881 / 3 = -6960.333...

-20881 / 17 = -1228.294...

144 - 145² = (12-145)(12+145) = (-133)(157)

-133 = -7*19 => кратно 7 и 19

157 = простое => не кратно 3 или 17

-20881 / 3 = -6960 и 1 в остатке => не делится на 3

-20881 / 17 = -1228 и 5 в остатке => не делится на 17

Ответ: Число 144 - 145² не кратно ни 3, ни 17.