Вариант 1. 1. AB и AC — отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 3 см. Найдите длины отрезков AC и AO, если AB = 4 см. 2. Дано: ∠ABC : ∠BC = 11:9 (рис. 8.178). Найти: ∠BCA, ∠BAC.

Решение задачи 1:

Так как AB и AC — отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки A, то AB = AC. По условию AB = 4 см, следовательно, AC = 4 см.

Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. То есть, если O — центр окружности, то OB ⊥ AB. Треугольник ABO — прямоугольный с гипотенузой AO.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABO:

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]

OB — это радиус окружности, который равен 3 см. AB = 4 см.

\[ AO^2 = 4^2 + 3^2 \]

\[ AO^2 = 16 + 9 \]

\[ AO^2 = 25 \]

\[ AO = \sqrt{25} \]

\[ AO = 5 \] см.

Ответ: AC = 4 см, AO = 5 см.

Решение задачи 2:

В условии задачи есть некоторая неясность: ∠ABC : ∠BC = 11:9. Обычно отношение дается между углами или между сторонами, а не между углом и стороной.

Предположим, что имелось в виду отношение двух углов треугольника, например, ∠ABC : ∠BCA = 11:9. В этом случае для решения задачи нам также понадобится информация о третьем угле или соотношении сторон, чтобы найти конкретные значения углов.

Если же задача подразумевает, что AB : BC = 11:9, то для нахождения углов ∠BCA и ∠BAC нам необходима дополнительная информация, например, величина одного из углов или тип треугольника.

Из-за неточности в условии, задача 2 не может быть решена.