Вариант 1. 1) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между AD и CC₁. 2) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между AB₁ и A₁C₁. 3) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между AB₁ и C₁D₁. 4) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между B₁O и A₁C₁, где O — середина AC. 5) DABC — тетраэдр, M — середина AD. Найдите косинус угла между CM и AB.

Для пунктов 1–4 обозначим ребро куба через a и зададим координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0); верхние вершины имеют координату z = a. Угол между прямыми берём меньший, от 0° до 90°.

1. Направляющие векторы AD = (0, a, 0) и CC₁ = (0, 0, a) перпендикулярны. Значит, угол равен 90°.

2. Можно взять векторы AB₁ = (a, 0, a) и A₁C₁ = (a, a, 0). Их скалярное произведение равно a², а длины обеих равны a√2. Поэтому cos φ = 1/2 и φ = 60°.

3. Направляющие векторы AB₁ = (a, 0, a) и C₁D₁ = (−a, 0, 0). По модулю косинус угла между ними равен a²/(a√2 · a) = 1/√2. Меньший угол между прямыми равен 45°.

4. O = (a/2, a/2, 0). Направляющий вектор B₁O можно взять равным (−a/2, a/2, −a), а для A₁C₁ — (a, a, 0). Их скалярное произведение равно 0, поэтому угол равен 90°.

5. Для численного ответа необходимо, чтобы тетраэдр был правильным; на фото это не указано. Если подразумевается правильный тетраэдр с ребром a, зададим A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), D = (a/2, √3a/2, 0), C = (a/2, √3a/6, √(2/3)a). Тогда M = (a/4, √3a/4, 0), а векторы AB = (a, 0, 0) и CM = (−a/4, √3a/12, −√(2/3)a). Их скалярное произведение равно −a²/4, а длина CM равна √3a/2. Для меньшего угла между прямыми берём модуль скалярного произведения: cos φ = (a²/4)/(a · √3a/2) = 1/(2√3). Если тетраэдр не правильный, данных недостаточно.

Ответ: 1) 90°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 90°; 5) для правильного тетраэдра cos φ = 1/(2√3).