Вариант 1. 1. Через точки A, B и середину M отрезка AB проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках C, D, N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если AC = 13 м, BD = 7 м, причём отрезок AB не пересекает плоскость α. 2. Точка P не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD и BC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков PB и PC, параллельна средней линии трапеции.

1. Поскольку отрезок AB не пересекает плоскость α, точки A и B находятся по одну сторону от неё. Параллельное проектирование на плоскость сохраняет отношения отрезков на одной прямой, поэтому образ середины M отрезка AB — точка N, середина отрезка CD.

Тогда в треугольнике ACD длина средней линии MN равна половине суммы расстояний AC и BD: \(MN=\frac{AC+BD}{2}=\frac{13+7}{2}=10\) м.

Ответ: 10 м.

2. Обозначим середины PB и PC через E и F. Рассмотрим треугольник PBC. По теореме о средней линии треугольника \(EF\parallel BC\). Средняя линия трапеции ABCD также параллельна её основанию BC. Следовательно, EF параллельна средней линии трапеции.