Вариант 1. 1. Дана функция $y=-4x+1$. При каких значениях аргумента $f(x)=0$, $f(x)<0$, $f(x)>0$? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните. 2. Найдите область определения функции: 1) $y=\sqrt{5x-2}$; 2) $y=\frac{1}{2x^2-5x-3}$. 3. Постройте график функции $y=x^2+4x-5$. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются. 4. Каждый график сопоставьте с соответствующей формулой: 1) $y=|x|$; 2) $y=x^3$; 3) $y=-\frac{1}{x}$; 4) $y=\sqrt{x}$; 5) $y=x^2$; 6) $y=\frac{1}{x}$. Графики: А, Б, В. 5. (Дополнительное задание.) При каком значении $p$ прямая $y=-2x+p$ имеет с параболой $y=x^2+2x$ ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 1. Дана функция $y=-4x+1$. При каких значениях аргумента $f(x)=0$, $f(x)<0$, $f(x)>0$? Является ли эта…$ Фото задания

Вариант 1. 1. Дана функция $y=-4x+1$. При каких значениях аргумента $f(x)=0$, $f(x)<0$, $f(x)>0$? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните. 2. Найдите область определения функции: 1) $y=\sqrt{5x-2}$; 2) $y=\frac{1}{2x^2-5x-3}$. 3. Постройте график функции $y=x^2+4x-5$. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются. 4. Каждый график сопоставьте с соответствующей формулой: 1) $y=|x|$; 2) $y=x^3$; 3) $y=-\frac{1}{x}$; 4) $y=\sqrt{x}$; 5) $y=x^2$; 6) $y=\frac{1}{x}$. Графики: А, Б, В. 5. (Дополнительное задание.) При каком значении $p$ прямая $y=-2x+p$ имеет с параболой $y=x^2+2x$ ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Accepted Answer

1. Найдём нуль функции: $-4x+1=0$, поэтому $x=\frac{1}{4}$. Коэффициент при $x$ отрицательный, значит, линейная функция убывает.

При $x<\frac{1}{4}$ функция положительна, при $x>\frac{1}{4}$ — отрицательна.

Ответ: $f(x)=0$ при $x=\frac{1}{4}$; $f(x)<0$ при $x>\frac{1}{4}$; $f(x)>0$ при $x<\frac{1}{4}$. Функция убывает.

2.

Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5x-2\geq 0$, откуда $x\geq\frac{2}{5}$. Область определения: $\left[\frac{2}{5};+\infty\right)$.
Знаменатель не должен равняться нулю: $2x^2-5x-3\ne 0$. Разложим: $(2x+1)(x-3)\ne 0$, значит, $x\ne-\frac{1}{2}$ и $x\ne3$. Область определения: $\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{1}{2},3\right\}$.

3. Выделим полный квадрат: $y=x^2+4x-5=(x+2)^2-9$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной $(-2,-9)$.

а) Область определения: $\mathbb{R}$. Наименьшее значение достигается в вершине и равно $-9$, поэтому область значений: $[-9;+\infty)$.
б) Нули: $(x+2)^2-9=0$, откуда $x=-5$ или $x=1$.
в) Поскольку парабола направлена вверх, $y>0$ при $x<-5$ или $x>1$; $y<0$ при $-5<x<1$. В точках $x=-5$ и $x=1$ значение функции равно нулю.
г) Функция убывает на $( -\infty;-2]$ и возрастает на $[-2;+\infty)$.
д) Наименьшее значение равно $-9$ при $x=-2$; наибольшего значения нет.

Для построения графика достаточно отметить вершину $(-2,-9)$, нули $(-5,0)$ и $(1,0)$, а затем провести параболу с ветвями вверх.

4. График А — гипербола с ветвями в I и III четвертях, поэтому это $y=\frac{1}{x}$ (формула 6). График Б начинается в начале координат и определён при $x\geq0$, поэтому это $y=\sqrt{x}$ (формула 4). График В имеет вид возрастающей кубической кривой, поэтому это $y=x^3$ (формула 2).

Ответ: А — 6; Б — 4; В — 2.

5. В точках пересечения значения функций равны: $x^2+2x=-2x+p$. Получаем уравнение $x^2+4x-p=0$.

Чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен равняться нулю: $D=16+4p=0$, поэтому $p=-4$.

При этом уравнение имеет единственный корень $x=-\frac{4}{2}=-2$. Подставим его в прямую: $y=-2(-2)-4=0$.

Ответ: $p=-4$; единственная общая точка — $(-2;0)$.