Вариант 1: 1. Дано: ∠BAD = ∠BCD = 90°, ∠ADB = 15°, ∠BDC = 75° (рис. 4.245). Доказать: AD || BC. 2. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота BB₁ равна Найти: AB. 3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника. 4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный given angle.

Краткое пояснение:

Задачи и их решения:

1. Задача 1:
   Дано: ∠BAD = ∠BCD = 90°, ∠ADB = 15°, ∠BDC = 75°.
   Доказать: AD || BC.
   
   Доказательство:
   1. В треугольнике ABD: ∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠ADB = 180° - 90° - 15° = 75°.
   2. Угол ABC = ∠ABD + ∠BDC = 75° + 75° = 150°.
   3. В четырехугольнике ABCD: сумма углов ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 90° + 150° + 90° + (15°+75°) = 360°.
   4. Углы ∠BAD и ∠BCD являются прямыми (90°), что указывает на то, что AB и CD перпендикулярны AC. Если AD || BC, то сумма односторонних углов должна быть 180°. В данном случае, ∠BAD = 90°, ∠ADC = 90°, ∠BCD = 90°. Чтобы AD || BC, нужно, чтобы сумма углов, прилежащих к одной из секущих (например, AB), была равна 180°. ∠BAD + ∠ABC = 90° + 150° = 240° ≠ 180°. Следовательно, AD не параллельно BC. Возможно, в условии задачи опечатка или требуется другой подход.
   Примечание: Учитывая условие, что ∠BAD = 90° и ∠BCD = 90°, а также ∠ADB = 15°, ∠BDC = 75°, сумма углов в треугольнике ABD равна 90° + 15° + 75° = 180°. Сумма углов в треугольнике BCD равна 90° + 75° + (180° - 90° - 75°) = 90° + 75° + 15° = 180°. Если ∠BDC = 75°, то ∠CBD = 15°. Тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 75° + 15° = 90°. В этом случае, ∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°. Эти углы являются односторонними при секущей AB, и их сумма равна 180°, что доказывает параллельность AD || BC.
2. Задача 2:
   Дано: В треугольнике ABC, ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота BB₁.
   Найти: AB.
   
   Решение:
   1. В прямоугольном треугольнике ABC, ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°.
   2. Высота BB₁ проведена из вершины B к стороне AC. В прямоугольном треугольнике ABB₁, ∠ABB₁ = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°. (Это решение не завершено, так как нет данных для нахождения AB).
   Примечание: В условии задачи отсутствует информация для нахождения длины AB. Если бы была дана длина одной из сторон (например, BC или AC), можно было бы найти AB.
3. Задача 3:
   Построить: Равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника.
   
   Построение:
   1. Проведите отрезок AC - это будет основание треугольника.
   2. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку AC. Любая точка на этом перпендикуляре будет равноудалена от концов отрезка AC.
   3. Отложите на серединном перпендикуляре точку B на заданном расстоянии от AC (это будет высота).
   4. Соедините точки A, B и C. Треугольник ABC будет равнобедренным с основанием AC и высотой, равной проведенному отрезку.
   Примечание: Для построения требуется конкретное значение высоты.
4. Задача 4:
   Построить: Угол, равный данному углу, с помощью циркуля и линейки.
   
   Построение:
   1. Дан угол ∠ABC. Проведите из вершины B произвольную дугу, пересекающую стороны угла в точках D и E.
   2. На новой прямой (или луче) отложите из вершины A произвольную дугу того же радиуса, пересекающую луч в точке F.
   3. Измерьте циркулем расстояние DE.
   4. От точки F на новой дуге отложите отрезок равный DE. Получите точку G.
   5. Соедините точки A и G. Угол ∠FAG будет равен углу ∠ABC.