Вариант 1. 1. Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Обоснуйте. 2. а) Дан параллелограмм ABCD, O — точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B и O лежат в плоскости α. Докажите, что точки C и D также лежат в плоскости α. б) Вычислите площадь параллелограмма, если его диагонали AC = 10 см и BD = 12 см.

1. Да, утверждение верно. Три точки, лежащие на одной прямой, задают эту прямую. Прямая и точка, не лежащая на ней, определяют единственную плоскость. Если четвёртая точка лежит на той же прямой, то она также принадлежит этой плоскости. Следовательно, все четыре точки лежат в одной плоскости.

2а. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Поэтому O — середина диагонали AC и диагонали BD.

Так как точки A, B и O лежат в плоскости α, прямая AO лежит в плоскости α. Точка C лежит на этой прямой, поскольку O — середина AC. Значит, C принадлежит плоскости α.

Прямая BO также лежит в плоскости α. Точка D лежит на этой прямой, поскольку O — середина BD. Значит, D принадлежит плоскости α.

2б. Числовых данных недостаточно для вычисления площади произвольного параллелограмма. Площадь выражается через диагонали и угол между ними: \(S=\frac12 AC\cdot BD\cdot\sin\varphi\). При известном только значении \(AC=10\) см и отсутствии длины второй диагонали или угла между диагоналями площадь однозначно определить нельзя.

Ответ: 1) да; 2а) точки C и D лежат в плоскости α; 2б) площадь по указанным данным определить невозможно.