Вариант 1. 1. Даны два неколлинеарных вектора $\vec a$ и $\vec b$. Длина вектора $\vec a=2$ см, а вектора $\vec b=4$ см. Построить: 1) $\vec m=2\vec a-\frac12\vec b$; 2) $\vec k=\vec a+2\vec b$; 3) $\vec b-\vec a$. 2. В параллелограмме MNEK диагонали пересекаются в точке O. Точка A принадлежит AE, MA:AE=1:3. $\overrightarrow{MN}=\vec a$, $\overrightarrow{MK}=\vec b$. Выразить через $\vec a$ и $\vec b$ векторы $\overrightarrow{EM},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{NA}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 1. Даны два неколлинеарных вектора $\vec a$ и $\vec b$. Длина вектора $\vec a=2$ см, а вектора \(\vec…$ Фото задания

Вариант 1. 1. Даны два неколлинеарных вектора $\vec a$ и $\vec b$. Длина вектора $\vec a=2$ см, а вектора $\vec b=4$ см. Построить: 1) $\vec m=2\vec a-\frac12\vec b$; 2) $\vec k=\vec a+2\vec b$; 3) $\vec b-\vec a$. 2. В параллелограмме MNEK диагонали пересекаются в точке O. Точка A принадлежит AE, MA:AE=1:3. $\overrightarrow{MN}=\vec a$, $\overrightarrow{MK}=\vec b$. Выразить через $\vec a$ и $\vec b$ векторы $\overrightarrow{EM},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{NA}$.

Accepted Answer

1. Так как направления неколлинеарных векторов не заданы, построение можно выполнить в любом выбранном расположении $\vec a$ и $\vec b$, соблюдая их длины и правила сложения.

Отложить $\vec a$ длиной 2 см и $\vec b$ длиной 4 см из общего начала. Для $\vec m=2\vec a-\frac12\vec b$ сложить два вектора длиной 4 см: $2\vec a$ и вектор $-\frac12\vec b$, направленный противоположно $\vec b$ и имеющий длину 2 см.
Для $\vec k=\vec a+2\vec b$ сложить векторы $\vec a$ длиной 2 см и $2\vec b$ длиной 8 см, направленный как $\vec b$.
Для $\vec b-\vec a$ сложить $\vec b$ с $-\vec a$, то есть с вектором длиной 2 см, направленным противоположно $\vec a$.

В каждом случае результирующий вектор — направленный от начала первого слагаемого к концу последнего при последовательном откладывании векторов.

2. Положим $M$ за начало отсчёта. Тогда $N=\vec a$, $K=\vec b$, а из свойств параллелограмма $E=\vec a+\vec b$.

По условию $A$ лежит на диагонали $AE$, а отношение $MA:AE=1:3$ задаёт деление диагонали $ME$ в отношении 1:3. Следовательно, $\overrightarrow{MA}=\frac14(\vec a+\vec b)$.
$\overrightarrow{EM}=M-E=-(\vec a+\vec b)$.
$\overrightarrow{AE}=E-A=\frac34(\vec a+\vec b)$.
$\overrightarrow{NA}=A-N=\frac14(\vec a+\vec b)-\vec a=\frac14(\vec b-3\vec a)$.

Ответ: $\overrightarrow{EM}=-\vec a-\vec b$, $\overrightarrow{AE}=\frac34(\vec a+\vec b)$, $\overrightarrow{NA}=\frac14(\vec b-3\vec a)$.

Примечание: запись «A принадлежит AE» на фото, вероятно, означает, что A лежит на диагонали ME; именно такое стандартное прочтение использовано для отношения $MA:AE$.