Вариант 1. 1) Даны две параллельные плоскости α и β и не лежащая между ними точка P. Две прямые, проходящие через точку P, пересекают ближнюю к точке P плоскость α в точках A₁ и A₂, а дальнюю плоскость β — в точках B₁ и B₂. Найдите длину отрезка B₁B₂, если A₁A₂=6 см и PA₁:A₁B₁=3:8; 2) Перекладина длиной 5 м своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 7 м и 4 м. Каково расстояние между основаниями столбов?; 3) Из вершины D квадрата ABCD со стороной 2 см к его плоскости проведён перпендикуляр DK=2√3 см. Найдите площадь треугольника ABK.

Так как плоскости параллельны, треугольники PA₁A₂ и PB₁B₂ подобны. По условию PA₁:A₁B₁=3:8, поэтому PB₁:PA₁=11:3. Следовательно, B₁B₂:A₁A₂=11:3, и B₁B₂=6·11/3=22 см.

Ответ: 22 см.

Разность высот концов перекладины: 7−4=3 м. Расстояние между основаниями столбов является горизонтальным катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 5 м:

\[d=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{ м}.\]

Ответ: 4 м.

Пусть H — основание перпендикуляра из K на плоскость квадрата; тогда H=D и KD⊥AD. Поэтому KA=KB, а расстояние от K до прямой AB равно высоте треугольника ABK.

Расстояние от D до AB равно стороне квадрата: DH=2 см. Тогда высота треугольника ABK:

\[h=\sqrt{DK^2+DH^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\text{ см}.\]

Следовательно,

\[S_{ABK}=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12\cdot2\cdot4=4\text{ см}^2.\]

Ответ: 4 см².