Вариант 1. 1) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, ∠ABO = 36°. Найдите ∠AOD. 2) Найдите углы ромба, если один из его углов равен 20°. 3) Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см. Сторона AB = 12 см. Найдите остальные стороны параллелограмма. 4) В равнобедренной трапеции ABCD известно, что AB = 6 см, ∠A = 60°, BC = 8 см. Найдите периметр этой трапеции.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OA = OB. Треугольник AOB равнобедренный: ∠OAB = ∠ABO = 36°.

Тогда ∠AOB = 180° − 36° − 36° = 108°. Углы AOB и AOD смежные, значит ∠AOD = 180° − 108° = 72°.

Ответ: 72°.

Соседние углы ромба supplementary, а противоположные равны. Если один угол равен 20°, соседний равен 180° − 20° = 160°.

Ответ: 20°, 160°, 20°, 160°.

Пусть сторона BC равна x см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому периметр: 2(12 + x) = 50.

12 + x = 25, откуда x = 13. Следовательно, AB = CD = 12 см, BC = AD = 13 см.

Ответ: BC = AD = 13 см, CD = 12 см.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому AD = BC = 8 см. Углы при основании AB равны: ∠A = ∠B = 60°.

Проекция каждой боковой стороны на основание AB равна 8 · cos 60° = 4 см. Поэтому разность оснований равна 8 см, а большее основание CD = 6 + 8 = 14 см.

Периметр: P = 6 + 14 + 8 + 8 = 36 см.

Ответ: 36 см.