Вариант 1. 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, ∠ABO = 36°. Найдите угол AOD. 2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен 20°. 3. Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции. 5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

В треугольнике ABO угол BAO равен 36°, поскольку диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, то есть AO = BO. Тогда угол AOB = 180° − 36° − 36° = 108°. Точки B, O, D лежат на одной прямой, поэтому углы AOB и AOD смежные: угол AOD = 180° − 108° = 72°.

Ответ: 72°.

У прямоугольной трапеции два угла прямые. Два других угла в сумме равны 180°, поскольку боковая сторона пересекает параллельные основания. Если один из этих углов равен 20°, другой равен 180° − 20° = 160°.

Ответ: 90°, 90°, 20°, 160°.

Пусть стороны равны x и 2x. Тогда 2(x + 2x) = 30; 6x = 30; x = 5 см. Стороны параллелограмма равны 5 см и 10 см.

Ответ: 5 см и 10 см.

Углы при большем основании равны, а их сумма — 96°, следовательно, каждый равен 96° : 2 = 48°. Угол при каждой боковой стороне и соседний с ним угол при меньшем основании дополняют друг друга до 180°: 180° − 48° = 132°.

Ответ: 48°, 48°, 132°, 132°.

BM перпендикулярна AD, поэтому треугольник ABM прямоугольный. Угол между AB и BM равен 30°, а AM = 4 см — катет напротив этого угла. В прямоугольном треугольнике такой катет равен половине гипотенузы, значит AB = 8 см. Это сторона ромба.

Высота BM = AM·√3 = 4√3 см. Площадь ромба равна AB·BM = 8·4√3 = 32√3 см². Также площадь равна половине произведения диагоналей: AC·BD / 2. Подставляя AC = 8 см, получаем 4·BD = 32√3, откуда BD = 8√3 см.

Ответ: BD = 8√3 см.