Вариант № 1. 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника ABO, если AB = 3, BC = 4, AC = 5. 2. Одна из сторон параллелограмма в 3 раза больше другой. Найдите длины сторон, если периметр параллелограмма равен 32. 3. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Угол ABC = 140°. Найдите углы треугольника COD. 4. В параллелограмме BCDE биссектриса угла B пересекает сторону DE в точке K, причём DK = 4, EK = 12. Найдите периметр параллелограмма.

1. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=\frac{AC}{2}=2.5\). Диагонали равны, следовательно, \(BO=2.5\). Тогда периметр треугольника \(ABO\): \(3+2.5+2.5=8\).

Ответ: 8.

2. Пусть меньшая сторона равна \(x\), тогда большая — \(3x\). Из условия о периметре: \(2(x+3x)=32\), откуда \(8x=32\) и \(x=4\). Большая сторона равна \(3\cdot4=12\).

Ответ: стороны 4 и 12.

3. В ромбе диагонали перпендикулярны, значит \(\angle COD=90°\). Углы ромба, соседние с углом B, равны \((180°-140°)=40°\), поэтому \(\angle C=\angle D=40°\). Диагональ AC делит угол C пополам, а BD делит угол D пополам. Следовательно, \(\angle OCD=20°\), \(\angle CDO=20°\).

Ответ: \(\angle COD=90°\), \(\angle OCD=20°\), \(\angle CDO=70°\).

4. Сначала найдём сторону DE: \(DE=DK+KE=4+12=16\). В параллелограмме \(BC=DE=16\). Биссектриса угла B, пересекающая DE, образует отрезок EK, равный соседней стороне BE: \(BE=EK=12\). Противоположная сторона CD тоже равна 12. Поэтому периметр равен \(2(16+12)=56\).

Ответ: 56.