Вариант 1. 1) Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2) В треугольнике ABC известно, что AC = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найдите AB. 3) В треугольнике ABC известно, что AC = 9 см, AB = 5 см, BC = 8 см. Найдите ∠A. 4) В △ABC ∠A = 48°, AB = 4 м, AC = 7 м. Найдите сторону BC. 5) Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является [начало условия обрезано] треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 11 см.

По теореме косинусов для стороны напротив угла 60°:

\(c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos60°=100+144-120=124\).

Значит, \(c=\sqrt{124}=2\sqrt{31}\) см.

Площадь по формуле через две стороны и угол между ними: \(S=\frac12\cdot10\cdot12\sin60°=30\sqrt3\) см².

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{31}\) см, площадь — \(30\sqrt3\) см².

Сумма углов треугольника даёт \(\angle A=180°-45°-30°=105°\). По теореме синусов:

\(\frac{AB}{\sin30°}=\frac{AC}{\sin45°}\), поэтому \(AB=5\cdot\frac{\sin30°}{\sin45°}=\frac{5\sqrt2}{2}\) см.

Ответ: \(AB=\frac{5\sqrt2}{2}\) см.

По теореме косинусов:

\(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+81-64}{2\cdot5\cdot9}=\frac7{15}\).

Следовательно, \(\angle A=\arccos\frac7{15}\approx62.2°\).

Ответ: \(\angle A\approx62.2°\).

По теореме косинусов:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=4^2+7^2-2\cdot4\cdot7\cos48°\).

\(BC\approx\sqrt{65-56\cos48°}\approx5.21\) м.

Ответ: \(BC\approx5.21\) м.

Начало условия обрезано, поэтому неизвестно, к какому именно треугольнику относятся стороны 6 см, 8 см и 11 см. Если эти длины являются сторонами требуемого треугольника, сравним квадраты: \(11^2=121\), а \(6^2+8^2=100\). Поскольку \(121>100\), такой треугольник тупоугольный.

Для подтверждения, что речь именно о треугольнике со сторонами 6 см, 8 см и 11 см, пришлите обрезанное начало строки.