Вариант 1. 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см, угол C = 45°, угол A = 120°. Найдите сторону BC треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см. 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

1. По теореме косинусов для третьей стороны \(c\): \(c^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos60^\circ=52\), поэтому \(c=2\sqrt{13}\) см.

Площадь по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12\cdot6\cdot8\sin60^\circ=12\sqrt3\) см².

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{13}\) см, площадь — \(12\sqrt3\) см².

2. По теореме синусов: \(\frac{BC}{\sin120^\circ}=\frac{AB}{\sin45^\circ}\). Следовательно, \(BC=3\cdot\frac{\sin120^\circ}{\sin45^\circ}=\frac{3\sqrt6}{2}\) см.

Ответ: \(BC=\frac{3\sqrt6}{2}\) см.

3. Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других: \(13^2=169<7^2+10^2=149\). Исправление сравнения: \(169>149\), поэтому угол напротив стороны 13 см тупой.

Ответ: треугольник тупоугольный.

4. Условие противоречиво: третья сторона равна 28 см, но две другие стороны, образующие угол 120°, не могут в сумме быть больше 28 см, как требует неравенство треугольника. Кроме того, сторона, противоположная углу 120°, должна быть наибольшей, а сторона 28 см не может быть меньше суммы и одновременно быть такой стороной при данных условиях. Решить задачу с указанными числами нельзя; проверьте значение третьей стороны.

5. Полупериметр \(s=(13+20+21)/2=27\) см. По формуле Герона площадь: \(S=\sqrt{27\cdot14\cdot7\cdot6}=126\) см². Радиус описанной окружности \(R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot20\cdot21}{4\cdot126}=\frac{65}{6}\) см.

Ответ: \(R=\frac{65}{6}\) см.