Вариант 1. 1. Из чисел 378, 576, 893, 4 139 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9. 2. Разложите число 1 056 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 42; 2) 280 и 588. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 3 и 6; 2) 28 и 9; 3) 15 и 20. 5. Выполните деление с остатком: 478 : 15. 6. Между учащимися 6 класса поровну разделили 84 мандарина и 56 апельсинов. Сколько учащихся в классе, если известно, что их больше 25? 7. Длина шага отца равна 70 см, а длина шага сына — 50 см. Какое наименьшее расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

1. 1) На 2 делятся числа, оканчивающиеся чётной цифрой: 378 и 576. 2) На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9: 378 (3 + 7 + 8 = 18) и 576 (5 + 7 + 6 = 18).

2. Последовательно делим на простые числа: 1 056 = 2 · 528 = 2² · 264 = 2³ · 132 = 2⁴ · 66 = 2⁵ · 33 = 2⁵ · 3 · 11.

3. 1) 24 = 2³ · 3, 42 = 2 · 3 · 7, поэтому НОД(24, 42) = 2 · 3 = 6. 2) 280 = 2³ · 5 · 7, 588 = 2² · 3 · 7², поэтому НОД(280, 588) = 2² · 7 = 28.

4. 1) НОК(3, 6) = 6. 2) 28 = 2² · 7, 9 = 3², поэтому НОК(28, 9) = 2² · 7 · 3² = 252. 3) 15 = 3 · 5, 20 = 2² · 5, поэтому НОК(15, 20) = 2² · 3 · 5 = 60.

5. 478 = 15 · 31 + 13, значит, частное равно 31, остаток — 13.

6. Число учащихся должно быть общим делителем 84 и 56. НОД(84, 56) = 28; делители, превышающие 25, среди общих делителей — только 28. Значит, в классе 28 учащихся. Проверка: 84 : 28 = 3 мандарина, 56 : 28 = 2 апельсина на каждого.

7. Ищем наименьшее общее кратное длин шагов: 70 = 2 · 5 · 7, 50 = 2 · 5². НОК(70, 50) = 2 · 5² · 7 = 350 см. Отец сделает 350 : 70 = 5 шагов, сын — 350 : 50 = 7 шагов.

Ответ: 1) на 2: 378, 576; на 9: 378, 576; 2) 2⁵ · 3 · 11; 3) 6, 28; 4) 6, 252, 60; 5) 31, остаток 13; 6) 28 учащихся; 7) 350 см.