Вариант 1. 1. Луч OD проходит между сторонами угла AOB. Найдите величину угла DOB, если ∠AOB = 87°, ∠AOD = 38°. 2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 63°. Найдите градусные меры остальных углов. 3. Один из смежных углов на 52° больше другого. Найдите эти углы. 4. Углы ABC и CBD — смежные, луч BM — биссектриса угла ABC, угол ABM в 2 раза больше угла CBD. Найдите углы ABC и CBD. 5. Точки A, B и C лежат на одной прямой. AB = 15 см, отрезок AC в 4 раза больше отрезка BC. Найдите отрезок AC.

Так как луч OD находится внутри угла AOB, ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB.

∠DOB = 87° − 38° = 49°.

Вертикальный угол равен данному: 63°. Каждый смежный с ним угол равен 180° − 63° = 117°.

Ответ: 63°, 117° и 117°.

Пусть меньший угол равен x°, тогда больший — (x + 52)°. Смежные углы в сумме дают 180°:

x + x + 52 = 180; 2x = 128; x = 64.

Больший угол: 64° + 52° = 116°.

Пусть ∠CBD = x°. Тогда ∠ABM = 2x°. Поскольку BM — биссектриса, ∠ABC = 4x°. Смежные углы дают:

4x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.

∠CBD = 36°, ∠ABC = 144°.

Положение точек на одной прямой не указано, поэтому возможны два случая.

Если B лежит между A и C, то AC = AB + BC. Пусть BC = x. Тогда 4x = 15 + x, откуда x = 5 и AC = 20 см.

Если C лежит между A и B, то AB = AC + BC. Тогда 15 = 4x + x, откуда x = 3 и AC = 12 см.

Ответ: 20 см или 12 см, в зависимости от расположения точек.