Вариант 1. 1. На луче с началом в точке A отмечены точки B и C. Известно, что AB = 10,3 см, BC = 7,4 см. Какую длину может иметь отрезок AC? 2. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 42°. Найдите все образовавшиеся углы. 3. Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы. 4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O. OK — биссектриса угла AOD, ∠COK = 118°. Найдите величину угла BOD.

На луче возможны два порядка точек.

• Если B находится между A и C, то AC = AB + BC = 10,3 + 7,4 = 17,7 см.
• Если C находится между A и B, то AC = AB − BC = 10,3 − 7,4 = 2,9 см.

Ответ: 17,7 см или 2,9 см.

При пересечении прямых образуются два различных угла: смежные углы в сумме дают 180°. Пусть больший угол равен x, тогда меньший равен x − 42°.

x + (x − 42°) = 180°; 2x = 222°; x = 111°. Второй угол: 111° − 42° = 69°. Вертикальные углы равны.

Ответ: 69°, 111°, 69°, 111°.

Пусть меньший угол равен x, тогда больший равен 5x. Смежные углы в сумме дают 180°:

x + 5x = 180°; 6x = 180°; x = 30°.

Больший угол равен 5 · 30° = 150°.

Ответ: 30° и 150°.

Поскольку OK — биссектриса угла AOD, обозначим ∠AOK = ∠KOD = x. Лучи OC и OD противоположны, поэтому ∠COK и ∠KOD — смежные:

x + 118° = 180°; x = 62°. Значит, ∠AOD = 2 · 62° = 124°.

∠BOD смежен с ∠AOD, поэтому ∠BOD = 180° − 124° = 56°.

Ответ: 56°.