Вариант 1. 1. На прямой отмечены точки B, C и D. Какую длину может иметь отрезок BD, если BC = 4,2 см, CD = 5,1 см? 2. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, если сумма двух из них в три раза меньше суммы двух других. 3. Из вершины угла проведён луч, равный биссектрисе данного угла. Какие углы образует этот луч со сторонами данного угла? 4*. Дано: ∠COD − ∠KOD = 61°, ∠COD − ∠KOC = 53° (рис. 1.137). Найти: ∠COD.

1. Точка C может лежать между B и D либо вне отрезка BD.

   Если C между B и D, то BD = BC + CD = 4,2 + 5,1 = 9,3 см.

   Если B или D лежит между двумя другими точками, то BD = |CD − BC| = |5,1 − 4,2| = 0,9 см.

2. При пересечении двух прямых образуются два равных острых угла и два равных тупых; смежные углы в сумме дают 180°. Пусть острый угол равен x, тогда тупой равен 180° − x. По условию сумма двух меньших углов втрое меньше суммы двух больших:

   2x = 2(180° − x) / 3, откуда 6x = 360° − 2x, 8x = 360°, x = 45°.

   Тупой угол: 180° − 45° = 135°.

3. Пусть величина угла равна α. Его биссектриса образует со сторонами углы α/2 и α/2. Если проведённый луч имеет ту же длину, что и биссектриса, но не совпадает с ней, то одних данных о длине недостаточно, чтобы определить направления луча и величины углов.

4. Обозначим ∠COD = x. На рисунке лучи расположены в порядке C, O, K, D, поэтому ∠COD = ∠KOC + ∠KOD.

   Из условий: ∠KOD = x − 61°, ∠KOC = x − 53°. Тогда x = (x − 61°) + (x − 53°), откуда x = 114°.

Ответ: 1) 9,3 см или 0,9 см; 2) 45° и 135°; 3) по α/2 с каждой стороны, если речь о биссектрисе; иначе данных недостаточно; 4) 114°.