Вариант 1. 1) На рис. 1 отрезки AB и CD имеют общую середину O. Докажите, что ∠DAO = ∠CBO. 2) Луч AD — биссектриса угла A. На сторонах угла A отмечены точки B и C так, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что AB = AC. 3) В равнобедренном треугольнике ABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно, BD — медиана треугольника. Докажите, что △BKD = △BMD.

1) Так как O — общая середина отрезков AB и CD, то AO = OB и DO = OC. Углы ∠AOD и ∠BOC вертикальные, следовательно, равны. Значит, △AOD = △BOC по двум сторонам и углу между ними. Соответствующие углы равны: ∠DAO = ∠CBO.

2) AD — биссектриса угла A, поэтому ∠BAD = ∠DAC. По условию ∠ADB = ∠ADC, а сторона AD — общая. Следовательно, △ADB = △ADC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны AB и AC равны.

Ответ: AB = AC.

3) Так как ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB и BC, то AB = BC. K и M — середины этих сторон, поэтому BK = BM. BD — общая сторона треугольников BKD и BMD. Кроме того, D — середина AC, поскольку BD — медиана, поэтому AD = DC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является биссектрисой, откуда ∠KBD = ∠DBM: лучы BK и BM лежат на BA и BC. Следовательно, △BKD = △BMD по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: △BKD = △BMD.