Вариант 1. 1. На рисунке 41 изображена окружность. Выпишите: а) центр; б) радиусы; в) диаметр; г) хорды окружности. 2. Найдите радиус окружности, если он на 12 см меньше диаметра. 4. AB и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника АОС, если AB = 6 см, BD = 1,5 см.

Ответ:

1.

• а) Центр: Точка О.
• б) Радиусы: Отрезки, соединяющие центр окружности с любой точкой на окружности. Например, ОА, ОВ, ОС, ОD.
• в) Диаметр: Отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на окружности. Например, AB, CD.
• г) Хорды: Отрезки, соединяющие две точки на окружности. Например, AC, BD.

2.

• Пусть радиус окружности равен r.
• Тогда диаметр окружности равен d = 2r.
• По условию, радиус на 12 см меньше диаметра: r = d - 12.
• Подставляем d = 2r: r = 2r - 12.
• Решаем уравнение: 2r - r = 12, значит r = 12 см.
• Диаметр: d = 2 * 12 = 24 см.

Ответ: Радиус окружности равен 12 см.

4.

• Дано:
• Окружность с центром О.
• AB и CD — диаметры.
• AB = 6 см.
• BD = 1,5 см.
• Найти: Периметр треугольника АОС.
• Решение:
• Так как AB — диаметр, то ОА = OB = AB/2 = 6/2 = 3 см.
• Так как CD — диаметр, то OC = OD = CD/2. Так как AB и CD — диаметры одной окружности, то CD = AB = 6 см. Следовательно, OC = OD = 6/2 = 3 см.
• Теперь рассмотрим треугольник АОС. Стороны ОА и ОС являются радиусами окружности, поэтому ОА = ОС = 3 см.
• Треугольник АОС — равнобедренный.
• Нам нужно найти длину стороны AC.
• Рассмотрим треугольник BOD. Так как OB и OD — радиусы, то OB = OD = 3 см. Треугольник BOD — равнобедренный.
• Рассмотрим треугольник AOD. OA = OD = 3 см.
• Рассмотрим треугольник BOC. OB = OC = 3 см.
• Треугольники AOD и BOC являются вертикальными углами при пересечении диаметров AB и CD.
• У нас есть хорда BD = 1,5 см.
• В треугольнике BOD, по теореме косинусов, если бы мы знали угол BOD, мы могли бы найти BD.
• Но мы можем найти AC. Рассмотрим треугольник ABC. Это прямоугольный треугольник, так как угол ACB вписан в окружность и опирается на диаметр AB.
• Это не совсем так. Треугольник ABC не обязательно прямоугольный, только если AC или BC являются диаметром, что не так.
• Важно, что AB и CD — диаметры.
• Рассмотрим треугольник AOD. OA=OD=3.
• Рассмотрим треугольник BOC. OB=OC=3.
• Рассмотрим треугольник ABC. AB=6. BC = ?
• В треугольнике BCD, BC — гипотенуза, если угол BDC — прямой. Но он не является прямым.
• Нам нужно найти периметр треугольника АОС. Мы знаем, что ОА = 3 см и ОС = 3 см. Нам нужно найти длину хорды AC.
• Углы AOC и BOD являются вертикальными.
• Рассмотрим треугольник BOD. Мы знаем OB = 3, OD = 3, BD = 1.5.
• По теореме косинусов в треугольнике BOD:
• \[ BD^2 = OB^2 + OD^2 - 2 imes OB imes OD imes ext{cos}( ext{угол } BOD) \]
• \[ (1.5)^2 = 3^2 + 3^2 - 2 imes 3 imes 3 imes ext{cos}( ext{угол } BOD) \]
• \[ 2.25 = 9 + 9 - 18 imes ext{cos}( ext{угол } BOD) \]
• \[ 2.25 = 18 - 18 imes ext{cos}( ext{угол } BOD) \]
• \[ 18 imes ext{cos}( ext{угол } BOD) = 18 - 2.25 \]
• \[ 18 imes ext{cos}( ext{угол } BOD) = 15.75 \]
• \[ ext{cos}( ext{угол } BOD) = rac{15.75}{18} = rac{1575}{1800} = rac{63}{72} = rac{7}{8} \]
• Угол AOC равен углу BOD (вертикальные углы).
• Теперь найдем длину хорды AC, используя теорему косинусов в треугольнике AOC:
• \[ AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 imes OA imes OC imes ext{cos}( ext{угол } AOC) \]
• \[ AC^2 = 3^2 + 3^2 - 2 imes 3 imes 3 imes rac{7}{8} \]
• \[ AC^2 = 9 + 9 - 18 imes rac{7}{8} \]
• \[ AC^2 = 18 - rac{126}{8} = 18 - rac{63}{4} \]
• \[ AC^2 = rac{72 - 63}{4} = rac{9}{4} \]
• \[ AC = ext{sqrt}(rac{9}{4}) = rac{3}{2} = 1.5 ext{ см} \]
• Периметр треугольника АОС равен сумме длин его сторон:
• P = OA + OC + AC
• P = 3 + 3 + 1.5 = 7.5 см.

Ответ: Периметр треугольника АОС равен 7,5 см.