Вариант 1. 1. На рисунке KMNP — трапеция, CK ∥ MN, CM ∥ PK, PK = KM, MN ≠ KM. Запишите номера верных утверждений: 1) PKMC — параллелограмм; 2) PKMC — ромб; 3) CKMN — ромб; 4) ∠CKM = ∠CMN; 5) ∠PCK = ∠KCM. 2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если AB = 7, BC = 24, BD = 25. 3. Одна сторона параллелограмма в 3 раза больше другой. Найдите длину меньшей стороны, если периметр параллелограмма равен 48 см. 4. На рисунке ABCD — ромб, ∠CBD = 120°. Найдите углы треугольника AOB. 5. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции. 6. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

1. По условию PK ∥ CM и CK ∥ MN, поэтому PKMC — параллелограмм. Так как PK = KM, его соседние стороны равны, следовательно, это ромб. У CKMN параллельны только CK и MN, а равенство его сторон не задано. В параллелограмме противоположные углы равны, а диагональ CK делит угол при K ромба на равные части.

Ответ: 1, 2, 4, 5.

2. Используем длины сторон прямоугольника: AB = 7, BC = 24. Тогда P = 2(AB + BC) = 2(7 + 24) = 62.

Ответ: 62.

3. Пусть меньшая сторона равна x, тогда большая равна 3x. Из периметра: 2(x + 3x) = 48, значит 8x = 48 и x = 6.

Ответ: 6 см.

4. В ромбе диагональ BD биссектрисa угла B, поэтому ∠ABC = 2∠CBD = 240°, что невозможно для внутреннего угла ромба. Следовательно, указанное условие противоречиво: внутренний угол между BC и BD не может равняться 120° в ромбе, где диагональ BD делит угол B пополам. Найти углы треугольника AOB по этому условию нельзя; проверьте значение ∠CBD на исходном листе.

5. Углы при большем основании равны, поэтому каждый равен 96° : 2 = 48°. Соседние углы трапеции при боковой стороне supplementary, то есть их сумма 180°: 180° − 48° = 132°.

Ответ: 48°, 48°, 132°, 132°.

6. В прямоугольном треугольнике ABM высота BM перпендикулярна AD, поэтому ∠BMA = 90°. Если ∠ABM = 30°, то треугольник ABM — 30°–60°–90°. Сторона AM, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы AB, значит AB = 8 см. В ромбе все стороны равны, следовательно, AD = 8 см. Так как AM = 4 см, то MD = 4 см. Однако заданное условие не согласуется с геометрией: при ∠ABM = 30° высота BM образует с AB угол 30°, и треугольник даёт AM = AB·sin 30° = 4 см; диагональ BD можно найти из прямоугольного треугольника BMD: BD = √(BM² + MD²), где BM = 4√3. Поэтому BD = √(48 + 16) = 8.

Ответ: 8 см.