Вариант 1. 1. Начертите неколлинеарные векторы $\vec a,\vec b,\vec c$. Постройте векторы, равные: а) $\frac13\vec a+\frac12\vec c$; б) $-\vec a+\frac23\vec b+0{,}5\vec c$. 2. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $K$ и $E$ так, что $BK=KC$, $CE:ED=2:3$. Выразите векторы $\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{KE}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec b=\overrightarrow{AD}$. 3. В трапеции $ABCD$ $\angle A=60^\circ$, $\angle D=45^\circ$, боковая сторона равна 10 см, [неразборчивый фрагмент], а меньшее основание — 8 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике $ABC$ точка $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 1. Начертите неколлинеарные векторы $\vec a,\vec b,\vec c$. Постройте векторы, равные: а) \(\frac13\vec…$ Фото задания

Вариант 1. 1. Начертите неколлинеарные векторы $\vec a,\vec b,\vec c$. Постройте векторы, равные: а) $\frac13\vec a+\frac12\vec c$; б) $-\vec a+\frac23\vec b+0{,}5\vec c$. 2. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $K$ и $E$ так, что $BK=KC$, $CE:ED=2:3$. Выразите векторы $\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{KE}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec b=\overrightarrow{AD}$. 3. В трапеции $ABCD$ $\angle A=60^\circ$, $\angle D=45^\circ$, боковая сторона равна 10 см, [неразборчивый фрагмент], а меньшее основание — 8 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике $ABC$ точка $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Accepted Answer

1. Для наглядного построения выберем неколлинеарные векторы $\vec a=(1,0)$, $\vec b=(0,1)$, $\vec c=(1,1)$. Тогда в пункте а) результат равен $(5/6,1/2)$, а в пункте б) — $(-1/2,3/2)$. Это один допустимый пример построения: начало каждого результирующего вектора помещается в начало координат.

2. В параллелограмме $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$, а $\overrightarrow{BC}=\vec b$, $\overrightarrow{CD}=-\vec a$.

Так как $K$ — середина $BC$, $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\vec a+\frac12\vec b$.
Из отношения $CE:ED=2:3$ следует $\overrightarrow{CE}=\frac25\overrightarrow{CD}=-\frac25\vec a$. Поэтому $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\frac35\vec a+\vec b$.
$\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AK}=\frac1{10}\vec a+\frac12\vec b$.

3. Часть условия закрыта, поэтому нельзя установить, к какой боковой стороне относится длина 10 см и какие ещё данные заданы. Без этого среднюю линию однозначно найти нельзя. Пришлите, пожалуйста, не закрытый фрагмент условия целиком.

4*. Обозначим $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{AC}=\vec v$. Поскольку $BA_1:A_1C=1:2$, имеем $\overrightarrow{AA_1}=\frac23\vec u+\frac13\vec v$. Так как $B_1$ — середина $AC$, $\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec v$.

Пусть $M$ — середина $BB_1$. Тогда $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1})=\frac12\vec u+\frac14\vec v=\frac34\left(\frac23\vec u+\frac13\vec v\right)=\frac34\overrightarrow{AA_1}$. Следовательно, $\overrightarrow{AM}$ пропорционален $\overrightarrow{AA_1}$, поэтому $M$ лежит на прямой $AA_1$.

Ответ: