Вариант 1. 1. Начертите неколлинеарные векторы \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\). Постройте векторы \(\vec a+\vec c\), \(\vec c-\vec b\). 2. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) точка \(B_1\) — середина основания \(AC\). а) Упростите выражение \(\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}\). б) Найдите \(|\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}|\), если \(AB=10\) см, \(BB_1=8\) см.

1. Один из возможных вариантов построения:

2а. Так как \(B_1\) — середина отрезка \(AC\), используем правило вычитания векторов:

\[\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB_1}.\]

По правилу сложения векторов получаем:

\[\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B_1A},\qquad \overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{CB_1}=\overrightarrow{CA}.\]

2б. В равнобедренном треугольнике медиана \(BB_1\) является высотой, поэтому \(AB_1=AC/2\). По теореме Пифагора:

\[AB_1=\sqrt{AB^2-BB_1^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\text{ см}.\]

\[AC=2AB_1=12\text{ см}.\]

Следовательно, модуль найденного вектора равен длине \(CA\):

Ответ: а) \(\overrightarrow{CA}\); б) \(12\) см.