Вариант 1. 1. Начертите вектор \(\vec{x}\) такой, что \(|\vec{x}|=2\) см. Постройте векторы \(3\vec{x}\); \(-2\vec{x}\); \(\frac12\vec{x}\). 2. В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(AB\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK:KB=2:1\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{CK}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\); \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

1. Направление исходного вектора можно выбрать произвольно. Возьмём \(\vec{x}\) длиной 2 см.

При умножении вектора на положительное число его направление сохраняется, а длина умножается на модуль числа. При умножении на отрицательное число направление меняется на противоположное.

• \(3\vec{x}\): длина \(3\cdot2=6\) см, направление как у \(\vec{x}\).
• \(-2\vec{x}\): длина \(2\cdot2=4\) см, направление противоположно \(\vec{x}\).
• \(\frac12\vec{x}\): длина \(\frac12\cdot2=1\) см, направление как у \(\vec{x}\).

Для построения отложите эти векторы на одной прямой с \(\vec{x}\), соблюдая указанные длины и направления.

2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

Следовательно, \(\overrightarrow{OC}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\).

Из отношения \(AK:KB=2:1\) следует, что \(\overrightarrow{AK}=\frac23\vec a\). Тогда \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=-(\vec a+\vec b)+\frac23\vec a=-\frac13\vec a-\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{OC}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{CK}=-\frac13\vec a-\vec b\).