Вариант 1. 1) Найдите: НОК (12, 18); НОК (8, 16); НОК (9, 14); НОК (36, 48); НОК (210, 350); НОК (12, 15, 18). 2) Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел a и b, если a = 2² · 3 · 7 и b = 2 · 3² · 7². 3) Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей: а) 3/16 и 5/12; б) 13/28 и 20/63. 4) Длина шага отца равна 70 см, длина шага сына — 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

1) Разложим числа на простые множители и возьмём для НОК наибольшие степени каждого простого множителя.

1. 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3²; НОК = 2² · 3² = 36.
2. 16 = 2⁴, 8 = 2³; НОК = 16.
3. 9 = 3², 14 = 2 · 7; НОК = 2 · 3² · 7 = 126.
4. 36 = 2² · 3², 48 = 2⁴ · 3; НОК = 2⁴ · 3² = 144.
5. 210 = 2 · 3 · 5 · 7, 350 = 2 · 5² · 7; НОК = 2 · 3 · 5² · 7 = 1050.
6. 12 = 2² · 3, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 3²; НОК = 2² · 3² · 5 = 180.

2) Для НОД берём общие множители в наименьших степенях, для НОК — все множители в наибольших степенях:

НОД(a, b) = 2 · 3 · 7 = 42.

НОК(a, b) = 2² · 3² · 7² = 1764.

3) а) Знаменатели: 16 = 2⁴, 12 = 2² · 3. Их НОК равен 2⁴ · 3 = 48.

б) 28 = 2² · 7, 63 = 3² · 7. Их НОК равен 2² · 3² · 7 = 252.

4) Чтобы оба прошли одинаковое расстояние целое число шагов, оно должно делиться и на 70 см, и на 50 см. Наименьшее такое расстояние — НОК(70, 50) = 2 · 5² · 7 = 350 см.

Ответ: 350 см, или 3 м 50 см.