Вариант 1. 1. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30° больше другого. 2. В параллелограмме BCDE биссектриса ∠B пересекает сторону DE в точке K, причем DK=4, EK=12. Найдите периметр параллелограмма. 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон. 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB=∠BDC=30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

1. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы в сумме дают 180°. Пусть меньший угол равен x°, тогда больший равен x°+30°.

Составим уравнение: x+(x+30)=180, откуда 2x=150 и x=75. Больший угол равен 105°.

Ответ: 75°, 75°, 105°, 105°.

2. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому DE=DK+KE=4+12=16 и BC=16.

Свойство биссектрисы угла параллелограмма, пересекающей противоположную сторону, даёт EK=CD. Значит, CD=12, а противоположная сторона BE=12.

Периметр: P=2(BC+CD)=2(16+12)=56.

Ответ: 56.

3. Диагональ делит параллелограмм на прямоугольный треугольник: диагональ перпендикулярна одной стороне. Чтобы диагональ могла равняться стороне треугольника, она должна равняться перпендикулярной ей стороне; иначе равной диагонали оказалась бы гипотенуза, что невозможно. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник с острыми углами 45°.

Углы параллелограмма смежные, поэтому они равны 45° и 135°.

Ответ: 45° и 135°.

4. Данные противоречивы. Если AB — боковая сторона и BD⊥AB, то в треугольнике ABD угол ABD равен 90°. Условие ∠ADB=30° тогда задаёт угол между BD и AD; однако для трапеции при обычных обозначениях оснований AB∥CD получаем также BD⊥CD, то есть ∠BDC=90°, а не 30°. Если же основания трапеции AD∥BC, то из BD⊥AB и ∠ADB=30° следует, что угол между BD и BC равен 30°; вместе с ∠BDC=30° треугольник BCD имеет углы 30°, 30°, 120°. Но без уточнения, какие стороны параллельны, формулировка допускает разные схемы, а при стандартном обозначении AB∥CD она несовместна.

Для однозначного нахождения AD нужно уточнить, какие стороны трапеции параллельны, либо прислать изображение чертежа, если он был в задании.