Вариант 1. 1. Найдите значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$, если $f(x)=\sqrt{x}$, $x_0=25$. 2. Найдите производную функции: а) $y=x^3-2x^2+x+2$; б) $y=\sqrt{x}(2\sin x+1)$; в) $y=\frac{1}{x^2}$; г) $y=\frac{1}{\cos x}$; д) $y=\frac{3x^2-2}{x^3}$; е) $y=\operatorname{tg}x+\frac{1}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 1. Найдите значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$, если $f(x)=\sqrt{x}$, $x_0=25$. 2. Найдите…$ Фото задания

Вариант 1. 1. Найдите значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$, если $f(x)=\sqrt{x}$, $x_0=25$. 2. Найдите производную функции: а) $y=x^3-2x^2+x+2$; б) $y=\sqrt{x}(2\sin x+1)$; в) $y=\frac{1}{x^2}$; г) $y=\frac{1}{\cos x}$; д) $y=\frac{3x^2-2}{x^3}$; е) $y=\operatorname{tg}x+\frac{1}{x}$.

Accepted Answer

Для $f(x)=\sqrt{x}$: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Подставляем $x_0=25$: $f'(25)=\frac{1}{2\cdot5}=\frac{1}{10}$.
Используем правила дифференцирования степенных, тригонометрических функций, произведения и частного.
- а) $y'=3x^2-4x+1$.
- б) По правилу произведения: $y'=\frac{2\sin x+1}{2\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cos x$.
- в) $y=x^{-2}$, поэтому $y'=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$.
- г) $y=(\cos x)^{-1}$, поэтому $y'=\frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
- д) Сначала преобразуем: $y=\frac{3}{x}-\frac{2}{x^3}$. Тогда $y'=-\frac{3}{x^2}+\frac{6}{x^4}$.
- е) $y'=\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{x^2}$.

Ответ: