Вариант 1. 1) Найти сторону BC треугольника ABC, если AB = 2√3 см, AC = 4 см, ∠A = 30°. 2) В треугольнике ABC: AB = 4√2 см, ∠C = 45°, ∠A = 30°. Найти сторону BC. 3) Определить вид треугольника, если его стороны равны 7 см, 9 см, 11 см. 4) Найти неизвестные стороны и углы треугольника, если AB = 12 см, ∠A = 74°, ∠C = 39°.

По теореме косинусов:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A\).

\(BC^2=(2\sqrt3)^2+4^2-2\cdot2\sqrt3\cdot4\cdot\cos30^\circ=12+16-24=4\), поэтому \(BC=2\) см.

Сначала найдём третий угол: \(\angle B=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов: \(\frac{BC}{\sin30^\circ}=\frac{AB}{\sin45^\circ}\), откуда \(BC=\frac{4\sqrt2\cdot\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=4\) см.

Стороны 7, 9 и 11 см попарно различны, а неравенство треугольника выполняется: \(7+9>11\).

Ответ: разносторонний треугольник.

Здесь \(AB=12\) см — сторона, противоположная углу \(C\). Найдём угол \(B\): \(\angle B=180^\circ-74^\circ-39^\circ=67^\circ\).

По теореме синусов:

\(BC=\frac{12\sin74^\circ}{\sin39^\circ}\approx18.33\) см.

\(AC=\frac{12\sin67^\circ}{\sin39^\circ}\approx17.56\) см.

Ответ: \(\angle B=67^\circ\), \(BC\approx18.33\) см, \(AC\approx17.56\) см.