Вариант 1. 1. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 75°. 2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между диагоналями, если ∠ABO = 30°. 3. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см. Дополнительное задание: Периметр ромба равен 18 см. Найдите сторону ромба.

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а прилежащие к боковой стороне углы в сумме дают 180°. Поэтому углы трапеции: 75°, 75°, 105° и 105°.
2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому BO = AO. Треугольник ABO равнобедренный, и ∠BAO = ∠ABO = 30°. Тогда ∠AOB = 180° − 30° − 30° = 120°. Угол между диагоналями — меньший из образованных ими углов, значит, он равен 180° − 120° = 60°.

3. а) Так как KE — биссектриса угла K, то ∠MKE = ∠EKP. В параллелограмме KP ∥ MN, а точки E и M лежат на MN, поэтому EM ∥ KP и ∠KEM = ∠EKP. Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, а напротив равных углов лежат равные стороны: KM = ME. Значит, треугольник KME равнобедренный.

   б) Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP) = 52 см, поэтому KM + KP = 26 см. Из пункта а) KM = ME = 10 см. Тогда KP = 26 − 10 = 16 см.

Дополнительное задание. У ромба четыре равные стороны, поэтому сторона равна 18 : 4 = 4,5 см.

Ответ: 1) 75°, 75°, 105°, 105°; 2) 60°; 3а) KM = ME; 3б) KP = 16 см; сторона ромба — 4,5 см.