Вариант 1. 1. Найти углы равнобедренной трапеции, если один угол больше другого в 2 раза. 2. Найти боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, если один из углов 120°. 3. Найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, если один из углов 45°.

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы в сумме дают 180°. Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(2x\).

\(x+2x=180°\), откуда \(3x=180°\) и \(x=60°\). Больший угол: \(2·60°=120°\).

Ответ: углы трапеции — 60°, 60°, 120° и 120°.

2. Разность оснований равна \(14-8=6\) см. В равнобедренной трапеции выступы большего основания по сторонам равны, поэтому горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(6:2=3\) см.

Угол 120° смежен с углом 60°. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и проекцией, боковая сторона — гипотенуза, а прилежащий к углу 60° катет равен 3 см. Поэтому \(\cos 60°=3:c\), где \(c\) — боковая сторона. Так как \(\cos 60°=\frac12\), получаем \(c=6\) см.

Ответ: обе боковые стороны равны 6 см.

3. Разность оснований прямоугольной трапеции равна \(14-8=6\) см. Один боковой катет равен высоте трапеции, а второй боковой стороне соответствует горизонтальная проекция длиной 6 см. При угле 45° прямоугольный треугольник равнобедренный, поэтому высота равна горизонтальной проекции: 6 см. Наклонная боковая сторона длиннее катета.

Ответ: меньшая боковая сторона равна 6 см.