Вариант 1. 1. Найти x: в треугольнике сторона длиной 8 лежит напротив угла 45°, сторона x — напротив угла 120°. 2. Найти x: стороны треугольника равны x, 6 и 4√2; угол 45° расположен между сторонами 6 и 4√2. 3. Определите вид треугольника со сторонами 3, 5, 7.

1. По теореме синусов:

\(\dfrac{x}{\sin 120^\circ}=\dfrac{8}{\sin 45^\circ}\).

\(x=\dfrac{8\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ}=\dfrac{8\cdot(\sqrt{3}/2)}{\sqrt{2}/2}=4\sqrt{6}\).

2. Применим теорему косинусов к сторонам, заключающим угол 45°:

\(x^2=6^2+(4\sqrt{2})^2-2\cdot6\cdot4\sqrt{2}\cdot\cos45^\circ\).

\(x^2=36+32-48=20\), поэтому \(x=2\sqrt{5}\) (длина положительна).

3. Проверим вид по квадратам сторон: \(7^2=49\), а \(3^2+5^2=34\). Поскольку \(49>34\), треугольник тупоугольный. Неравенство треугольника выполняется: \(3+5>7\).

Ответ: 1) \(4\sqrt{6}\); 2) \(2\sqrt{5}\); 3) тупоугольный.