Вариант 1. 1. Найти значение выражения: 1) sin 150°, 2) cos(5π/3), 3) tg(3π/4). 2. Вычислить: sin α, cos 2α, если cos α = 5/13 и 0 < α < π/2. 3. Упростить выражение: (sin(α – β) + sin β cos α) / tg α. 4. Доказать тождество: (2 sin 2α + cos(3π/2 - α) - sin(π + α)) / (1 + sin(3π/2 - α)) = -2 sin α. 5. Решить уравнение: sin 3x cos x = cos 3x sin x - 1.

Вариант 1

1. 1) Найти значение выражения:
   1. \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)
   2. \( \cos \frac{5\pi}{3} = \cos (2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)
   3. \( \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg} (\pi - \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1 \)
2. 2. Вычислить: \( \sin \alpha, \cos 2\alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{5}{13} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

   Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), \( \sin \alpha > 0 \). \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \).

   \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2(\frac{5}{13})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{25}{169} - 1 = \frac{50}{169} - \frac{169}{169} = -\frac{119}{169} \).

3. 3. Упростить выражение:

   \( \frac{\sin (\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \sin \alpha \cos \beta \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha \cos \beta \)

4. 4. Доказать тождество:

   Левая часть:

   \( \frac{2 \sin 2\alpha + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin (\pi + \alpha)}{1 + \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{2 \sin 2\alpha - \sin \alpha - (-\sin \alpha)}{1 - \cos \alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{2 (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} \)

   В правой части равенства опечатка, должно быть \( \frac{2 · \sin 2\alpha}{1 - · \cos \alpha} \) и тогда \( \frac{2 \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \).

   Если принять, что правая часть равна \( -2 \sin \alpha \), то равенство не выполняется.

   Предполагая, что в числителе вместо \( 2\sin 2\alpha \) стоит \( \sin 2\alpha \), тогда:

   \( \frac{\sin 2\alpha + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin (\pi + \alpha)}{1 + \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha - (-\sin \alpha)}{1 - \cos \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \).

   Тождество не доказывается.

   При пересмотре задания:

   \( \frac{2 \sin 2\alpha + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin (\pi + \alpha)}{1 + \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{2 (2 \sin \alpha \cos \alpha) + (-\sin \alpha) - (-\sin \alpha)}{1 + (-\cos \alpha)} = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \).

   Если принять, что тождество должно быть:

   \( \frac{2 \sin 2\alpha + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin (\pi + \alpha)}{1 + \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = -2 \sin \alpha \)

   Тогда \( \frac{2(2\sin\alpha\cos\alpha) - · \sin\alpha + · \sin\alpha}{1 - · \cos\alpha} = \frac{4 · \sin\alpha \cos\alpha}{1 - · \cos\alpha} \).

   В задании, вероятно, опечатка. Если предположить, что в числителе стоит \( \sin 2\alpha \), а не \( 2 \sin 2\alpha \), и правая часть равна \( 2\cos\alpha \):

   \( \frac{\sin 2\alpha + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin (\pi + \alpha)}{1 + \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \).

   Тождество не доказывается.

   Исходя из приведенного решения \( = -2 \sin \alpha \), тождество верно при следующих преобразованиях:

   \( \frac{2 \sin 2\alpha + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin (\pi + \alpha)}{1 + \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{2 (2 \sin \alpha \cos \alpha) - \sin \alpha - (-\sin \alpha)}{1 - \cos \alpha} = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \).

   Левая часть равна \( \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \). Чтобы она была равна \( -2 \sin \alpha \), необходимо:

   \( \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} = -2 \sin \alpha \) \( \Rightarrow \) \( 4 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha) \)

   \( 4 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \) \( \Rightarrow \) \( 2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \sin \alpha = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2 \sin \alpha (\cos \alpha + 1) = 0 \).

   Это верно, если \( \sin \alpha = 0 \) или \( \cos \alpha = -1 \), что противоречит условию \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

   Таким образом, тождество в предложенном виде неверно.

5. 5. Решить уравнение: \( \sin 3x \cos x = \cos 3x \sin x - 1 \)

   Перенесём всё в одну сторону:

   \( \sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = -1 \)

   Используем формулу синуса разности углов: \( \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).

   \( \sin (3x - x) = -1 \)

   \( \sin 2x = -1 \)

   \( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

   \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

   Ответ: \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in ℤ \).