Вариант 1. 1. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции y = sin x точка: а) M(π/4; √2/2); б) K(3π/4; −√2/2). 2. а) Постройте график функции y = sin x − 1; б) укажите область значений данной функции; в) найдите наибольшее и наименьшее значения функции на интервале (π/3; 3π/2).

1.

1. Для точки M: \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому точка принадлежит графику.
2. Для точки K: \(\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\ne-\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому точка не принадлежит графику.

2а. График \(y=\sin x-1\) получается из графика \(y=\sin x\) сдвигом вниз на 1. Основные точки одного периода: \((0;-1),\ (\frac\pi2;0),\ (\pi;-1),\ (\frac{3\pi}2;-2),\ (2\pi;-1)\). Через них проводится синусоида с периодом \(2\pi\).

2б. Так как \(-1\le\sin x\le1\), то \(-2\le\sin x-1\le0\).

2в. На интервале \((\frac\pi3;\frac{3\pi}2)\) функция сначала возрастает до \(x=\frac\pi2\), затем убывает. Максимум достигается при \(x=\frac\pi2\): \(y_{\max}=0\). Значение \(-2\) достигается только при \(x=\frac{3\pi}2\), но эта точка не входит в интервал, поэтому на данном интервале наименьшего значения нет; нижняя грань равна \(-2\).

Ответ: 1а) принадлежит; 1б) не принадлежит; 2б) \([-2;0]\); 2в) наибольшее значение 0, наименьшего значения нет.