Вариант 1. 1. Один из углов параллелограмма равен 122°. Найдите остальные углы параллелограмма. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма. 3. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 10, BD = 22, AB = 9. Найдите DO. 4. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 12°. 5. В параллелограмме ABCD периметр равен 78 см. ∠C = 30°, а перпендикуляр к прямой CD равен 10 см. Найти углы и стороны параллелограмма.

1. Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), противоположные углы равны.

Соседний угол: \(180^\circ-122^\circ=58^\circ\).

Ответ: 122°, 58°, 122°, 58°.

2. \(\angle B=60^\circ+55^\circ=115^\circ\). Тогда меньший угол параллелограмма равен \(180^\circ-115^\circ=65^\circ\).

Ответ: 65°.

3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(DO=\frac{BD}{2}=\frac{22}{2}=11\).

Ответ: 11.

4. Угол между биссектрисой угла \(A\) и стороной \(BC\), параллельной \(AD\), равен половине угла \(A\). Поэтому \(\frac{\angle A}{2}=12^\circ\), откуда \(\angle A=24^\circ\).

Ответ: 24°.

5. Высота к стороне \(CD\) равна 10 см. При \(\angle C=30^\circ\): \(AD=\frac{10}{\sin30^\circ}=20\) см.

В параллелограмме \(AD=BC=20\) см. Из условия периметра: \(2(AD+AB)=78\), поэтому \(AB=39-20=19\) см. Следовательно, \(CD=19\) см.

Противоположные углы равны, соседние supplementary: \(\angle A=\angle C=30^\circ\), \(\angle B=\angle D=150^\circ\).

Ответ: углы A и C — 30°, углы B и D — 150°; стороны AB и CD — 19 см, стороны BC и AD — 20 см.