Вариант 1. 1. Один из углов параллелограмма равен 31°. Найдите остальные углы параллелограмма. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол параллелограмма. 3. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 16, BD = 20, AB = 5. Найдите DO. 4. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. 5. В параллелограмме ABCD периметр равен 60 см. ∠C = 30°, а перпендикуляр к прямой CD равен 7 см. Найти углы и стороны параллелограмма.

1. Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), а противоположные углы равны.

Соседний угол: \(180^\circ-31^\circ=149^\circ\).

Ответ: 31°, 149°, 31°, 149°.

2. Диагональ делит угол \(B\) на два угла: \(65^\circ\) и \(80^\circ\). Поэтому \(\angle B=65^\circ+80^\circ=145^\circ\).

Меньший угол параллелограмма: \(180^\circ-145^\circ=35^\circ\).

Ответ: 35°.

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: \(DO=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\).

Ответ: 10.

4. Так как \(BC\parallel AD\), угол между биссектрисой угла \(A\) и стороной \(BC\) равен половине угла \(A\). Поэтому \(\frac{\angle A}{2}=41^\circ\), откуда \(\angle A=82^\circ\).

Ответ: 82°.

5. Перпендикуляр к \(CD\) является высотой, проведённой к стороне \(CD\). В прямоугольном треугольнике высота равна половине стороны \(AD\), так как \(\angle C=30^\circ\): \(AD=\frac{7}{\sin30^\circ}=14\) см.

В параллелограмме \(AD=BC=14\) см. Из периметра: \(2(AD+AB)=60\), поэтому \(AB=30-14=16\) см. Следовательно, \(CD=AB=16\) см.

Противоположные углы равны, соседние в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle A=\angle C=30^\circ\), \(\angle B=\angle D=150^\circ\).

Ответ: углы A и C — 30°, углы B и D — 150°; стороны AB и CD — 16 см, стороны BC и AD — 14 см.