Вариант 1. 1. Площадь треугольника ABC равна 60 см². Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол A = 30°. 2. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Найдите AC. 3. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. 4. Определите вид треугольника ABC, если A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

1. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

   \(60=\frac12\cdot AB\cdot15\cdot\sin30^\circ=\frac{15}{4}AB\).

   \(AB=60:3.75=16\) см.

2. Находим третий угол: \(\angle C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\). По теореме синусов:

   \(\frac{AC}{\sin60^\circ}=\frac{BC}{\sin45^\circ}\), поэтому \(AC=3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=3\sqrt3\).

3. По теореме косинусов для стороны напротив угла \(120^\circ\):

   \(c^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cos120^\circ=49+64+56=169\), значит \(c=13\) см.

4. Вычислим квадраты длин сторон по координатам:

   \(AB^2=(3-0)^2+(9-6)^2=18\); \(BC^2=(4-0)^2+(2-6)^2=32\); \(AC^2=(4-3)^2+(2-9)^2=50\).

   Так как \(AB^2+BC^2=AC^2\), треугольник прямоугольный, причём прямой угол при B. Все стороны имеют разные длины, поэтому он разносторонний.

Ответ: 1) 16 см; 2) \(3\sqrt3\); 3) 13 см; 4) прямоугольный разносторонний, \(\angle B=90^\circ\).