Вариант № 1. 1. Построить треугольник по трём сторонам, если их длины равны 3 см, 3 см и 5 см. 2. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними, если длины сторон равны 2 см и 3 см, а градусная мера угла — 120°. 3. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам, если длина стороны 4 см, а градусные меры углов 50° и 50°. 4. Существует ли треугольник со сторонами 3 см, 5 см и 8 см? Проверить двумя способами: с помощью неравенства треугольника и с помощью построения.

1. Построим отрезок AB = 5 см. Из точки A проведём окружность радиусом 3 см, из точки B — окружность радиусом 3 см. Их точку пересечения обозначим C. Соединим A и C, B и C: получим треугольник со сторонами 3 см, 3 см и 5 см.

Построение возможно, поскольку сумма двух меньших сторон больше третьей: 3 + 3 > 5.

2. Построим угол BAC = 120°. На одной его стороне отложим AB = 2 см, на другой — AC = 3 см. Соединим точки B и C. Полученный треугольник ABC — искомый. Построение возможно однозначно с точностью до положения фигуры на плоскости.

3. Построим отрезок AB = 4 см. В точках A и B построим углы по 50° по одну сторону от AB. Лучи этих углов пересекутся в точке C. Соединим вершины: получим искомый треугольник ABC.

Угол при C равен 180° − 50° − 50° = 80°, поэтому треугольник существует.

4. Проверка по неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей. Здесь 3 + 5 = 8, а не 3 + 5 > 8. Условие не выполняется.

При попытке построения отложим AB = 8 см. Окружность с центром A радиусом 3 см и окружность с центром B радиусом 5 см имеют единственную общую точку, лежащую на отрезке AB; вершины треугольника не образуют невырожденную фигуру.

Ответ: треугольник со сторонами 3 см, 5 см и 8 см не существует.