Вариант 1. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{42x^5}{y}\cdot\frac{y^2}{14x^5}$; б) $\frac{63a^3b}{c}:(18a^2b)$; в) $\frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3}$; г) $\frac{p-q}{p}\cdot\left(\frac{p}{p-q}+\frac{p}{q}\right)$. 2. Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения $(b-1)^2\left(\frac{1}{b^2-2b+1}+\frac{1}{b^2-1}\right)+\frac{2}{b+1}$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{42x^5}{y}\cdot\frac{y^2}{14x^5}$; б) $\frac{63a^3b}{c}:(18a^2b)$; в)…$ Фото задания

Вариант 1. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{42x^5}{y}\cdot\frac{y^2}{14x^5}$; б) $\frac{63a^3b}{c}:(18a^2b)$; в) $\frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3}$; г) $\frac{p-q}{p}\cdot\left(\frac{p}{p-q}+\frac{p}{q}\right)$. 2. Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения $(b-1)^2\left(\frac{1}{b^2-2b+1}+\frac{1}{b^2-1}\right)+\frac{2}{b+1}$ не зависит от $b$.

Accepted Answer

1. Представим каждое выражение в виде одной дроби.

а) $\frac{42x^5}{y}\cdot\frac{y^2}{14x^5}=\frac{42y^2}{14y}=3y$.
б) Деление заменяем умножением на обратное число: $\frac{63a^3b}{c}:(18a^2b)=\frac{63a^3b}{18a^2bc}=\frac{7a}{2c}$.
в) Разложим на множители и заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)}\cdot\frac{a+3}{3(2a+1)}=\frac{2a-1}{3(a-3)}$. Ограничения исходного выражения: $a\ne-3,3,-\frac12$.
г) Сначала сложим дроби в скобках: $\frac{p}{p-q}+\frac{p}{q}=\frac{pq+p(p-q)}{q(p-q)}=\frac{p^2}{q(p-q)}$. Тогда $\frac{p-q}{p}\cdot\frac{p^2}{q(p-q)}=\frac pq$. Ограничения: $p\ne0,\ q\ne0,\ p\ne q$.

2. Построим график функции $y=\frac6x$. Это гипербола: при положительных $x$ значения $y$ положительны, а при отрицательных $x$ — отрицательны. Оси координат являются асимптотами.

В знаменателе функции стоит $x$, поэтому $x\ne0$. Функция принимает отрицательные значения, когда числитель положителен, а знаменатель отрицателен.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме нуля; функция отрицательна при $x<0$.

3. Докажем независимость значения от $b$.

Разложим знаменатели на множители: $b^2-2b+1=(b-1)^2$, $b^2-1=(b-1)(b+1)$.
Подставим разложения и сократим: $(b-1)^2\left(\frac1{(b-1)^2}+\frac1{(b-1)(b+1)}\right)+\frac2{b+1}=1+\frac{b-1}{b+1}+\frac2{b+1}$.
Сложим дроби: $1+\frac{b-1+2}{b+1}=1+1=2$. При допустимых значениях $b\ne\pm1$ выражение всегда равно одной и той же константе.

Ответ: значение выражения равно 2 и не зависит от $b$.